Question

[Đan Trường 5]

Cho hình vuông ABCD, E nằm trong hình vuông sao cho tam giác ABE đều. Gọi F là giao điểm của AE và BD, O là giao điểm của BE và FC.  Chứng minh OC=OF. 

Giúp mình với 

Answer 1

[Hoa Cửu]

                                                              Bài giải

Ta có \(\widehat{DAE}=90^0-60^0=30^0\)

\(AD=AE(=AB) \)

\(\Rightarrow \triangle DAE\)cân tại A
\(\widehat{EDA}=\frac{180^0-30^0}{2}=75^0 \)

Nên \(\widehat{CDE}=15^0\)

Tương tự \(\triangle BEC\) cân tại \(B\)

Dễ chứng minh \(\triangle DAF=\triangle DCF\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat{DFC}=\widehat{DFA}=180^0-45^0-30^0=105^0\)

Hạ \(FH \perp DC\)

Thì dễ có \(\triangle DHF\) vuông cân tại \(H\)

\(\Rightarrow \widehat{ DFH}=45^0\) do đó \(HD=HO\)

\(\Rightarrow \widehat{HFC}=60^0\)

Tam giác \(HFC\) vuông tại \(H\) có \(\widehat{HFC}=60^0\)

Giả sử \(O'\) \)là trung điểm của\( FC\) thì \(\triangle HO'F\)đều

\(\Rightarrow HO'=HF=DH\)

\(\widehat{HDO'}=\frac{180^0-(60^0+90^0)}{2}=15^0=\widehat{CDE}\)

Nên\( D, E, O'\)thẳng hàng \(\Rightarrow O\) trùng \(O' \)

Hay\(O\) là trung điểm của \(CF\) nên \(OC=OF\)

Answer 2

[Hoa Cửu]

                                                                              Bài giải

Ta có $\widehat{DAE}={90}^0-{60}^0={30}^0$

$AD=AE(=AB$)

$\Rightarrow △DAE$ cân tại $A$

$\widehat{EDA}=\frac{{180}^0-{30}^0}{2}={75}^0$

Nên $\widehat{CDE}={15}^0$

Tương tự $△BEC$ cân tại $B$


Dễ chứng minh $△DAF=△DCF$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{DFC}=\widehat{DFA}={180}^0-{45}^0-{30}^0={105}^0$

Hạ $FH\perp DC$

Thì dễ có $△DHF$ vuông cân tại $H$

$\Rightarrow \widehat{DFH}={45}^0$ do đó $HD=HO$

$\Rightarrow \widehat{HFC}={60}^0$

Tam giác $HFC$ vuông tại $H$ có $\widehat{HFC}={60}^0$

Giả sử $O^{\prime }$ là trung điểm của $FC$ thì 

$△H{O}^{\prime }F$ đều

$\Rightarrow H{O}^{\prime }=HF=DH$

$\widehat{HD{O}^{\prime }}=\frac{{180}^0-({60}^0+{90}^0)}{2}={15}^0=\widehat{CDE}$

Nên $D,E,O^{\prime }$ thẳng hàng

$\Rightarrow O$ trùng $O^{\prime }$

Hay $O$ là trung điểm của $CF$ nên $OC=OF$