K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

a: Kẻ CH vuông góc với AM

\(S_{AGC}=\dfrac{CH\cdot AG}{2}\)

\(S_{GMC}=\dfrac{CH\cdot MG}{2}\)

mà AG=2MG

nên \(S_{AGC}=2S_{GMC}\)

b: Kẻ GK vuông góc với BC

\(S_{GMB}=\dfrac{BM\cdot GK}{2}\)

\(S_{GMC}=\dfrac{MC\cdot GK}{2}\)

mà BM=CM

nên \(S_{GMB}=S_{GMC}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
19 tháng 9 2023

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \dfrac{1}{3}AM\)

Kẻ \(BP \bot AM\) ta có

 \(\begin{array}{l}{S_{GMP}} = \dfrac{1}{2}BP.GM\\{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}BP.AM\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMP}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMP}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}}\)(1)                         

Tương tự, kẻ \(CN \bot AM\), ta có  

\(\begin{array}{l}{S_{GMC}} = \dfrac{1}{2}CN.GM\\{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}CN.AM\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMC}}}}{{{S_{ACM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

\(\begin{array}{l}{S_{GMB}} + {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}\left( {{S_{AMC}} + {S_{ABM}}} \right)\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\end{array}\)

b) 

Ta có

\(\begin{array}{l}{S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}BP.AG\\{S_{GAC}} = \dfrac{1}{2}CN.AG\end{array}\)

Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta CNM\) có:

\(\widehat {BPM} = \widehat {CNM} = {90^0}\)

 BM = CM ( M là trung điểm của BC)

\(\widehat {PMB} = \widehat {CMN}\)(2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta BPM = \Delta CNM\)(cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow \) BP = CN (cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow {S_{GAB}} = {S_{GAC}}\)

Ta có: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)

\(\begin{array}{l}{S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + {S_{GCB}}\\ \Rightarrow {S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = {S_{GAC}} = {S_{GAB}}\end{array}\)

Bài 2: 

Ta có: AM=1/2BC

nên AM=BM=CM

Xét ΔMAB có MA=MB

nên ΔMAB cân tại M

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{B}\)

Xét ΔMAC có MA=MC

nên ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{C}\)

Xét ΔBAC có \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{MAC}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\right)=180^0\)

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

hay ΔABC vuông tại A

2 tháng 3 2020

Ta có : AC//DB\(\Rightarrow S_{ABD}=S_{CDB}\left(1\right)\)

\(\Delta CDB=\Delta KAB\Rightarrow S_{CDB}=S_{KAB}\left(2\right)\)

AI//BK\(\Rightarrow S_{KAB}=S_{KIB}\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(S_{ABD}=S_{KIB}\Leftrightarrow S_{ABDE}=S_{BIJK}\left(4\right)\)

Với I,J là hình chiếu A xuống BC,HK

Tương tự ta cx có \(S_{ACFG}=S_{IJHC}\left(5\right)\)

Cộng (4) vfa (5) có ĐPCM

Từ đó suy ra Đ.L.Pitago

2 tháng 3 2020

kì tích nhỉ ( 1 ) CM hơi bị kì tích

9 tháng 3 2018

HÌnh bạn tự vẽ.

Bổ đề: (định lý Ptô-lê-mê)

Trong một tứ giác nội tiếp ABCD, ta có:

AC . BD = AB . CD + BC . AD

Áp dụng bổ đề trên cho tứ giác nội tiếp IPAN, ta có IA.NP = IP.AN + IN.AP = 2r(p - a) (ở đây ta đặt BC = a, CA = b, AB = c) và

\(p=\frac{a+b+c}{2}\) thì AN = AP = p - a.

Tương tự IB . PM = 2r(p - b)

                 IC . MN = 2r(p - c)

Nhân theo vế ba đẳng thức trên ta được:

\(IA.IB.IC.MN.NP.PM=8r^3\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\).

Mặt khác, vì r là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MNP\)nên MN.NP.PM = \(4rS_{MNP}\).

Ngoài ra theo công thức Hê-rông ta có:

\(S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\).Do đó:

IA . IB . IC. 4rSMNP = \(\frac{8r^3.S^2_{ABC}}{p}=8r^4S_{ABC}\)(vì SABC = pr), suy ra đpcm

  P/s: Chỗ nào không hiểu thì bạn chỉ việc vẽ hình ra và quan sát hình là được :))