Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
\(\frac{a^3}{b\left(b+c\right)}+\frac{b}{2}+\frac{b+c}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b\left(b+c\right)}.\frac{b}{2}.\frac{b+c}{4}}=\frac{3}{2}a\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{b\left(b+c\right)}\ge\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{4}\left(b+c\right)=\frac{3}{2}a-\frac{3}{4}b-\frac{1}{4}c\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b^3}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}b-\frac{3}{4}c-\frac{1}{4}a;\frac{c^3}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}c-\frac{3}{4}a-\frac{1}{4}b\)
Cộng theo vế 3 bđt ta được đpcm
bn thử tham khảo bài này xem: http://olm.vn/hoi-dap/question/446950.html
Thật ra bài này là một câu trắc nghiệm thôi và mình muốn có lời giải rõ ràng. Có 4 đáp án các bạn chọn và giải rõ ràng ra nhé.
Hệ số k tốt nhất là:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{5}\)
Ta có: \(A=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)
\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a-d}{d+b}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+a}+1+\frac{c-a}{a+d}+1\)
\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a+b}{d+b}+\frac{d+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+d}{a+d}\)
\(\Leftrightarrow A+4=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{xy}\)với mọi x,y>0
Ta có: \(A+4\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(d+c\right)}{a+b+c+d}\)
\(A+4\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)
\(A\ge0\)(dpcm)
cau b . ta co
a4+b4\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\frac{1}{16}}{2}\)=1/32
câu a đề phải là 12ab
Dùng BĐT cô si
\(ab\ge2\sqrt{ab}\)
\(9+ab\ge2.3\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(9+ab\right)\ge12ab\)
Vì \(a,b,c\ge0\)Nên ta nhân a+b+c vào hai vế của bất đẳng thức :
Ta được:\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)-9\ge0\)(2)
Lại có \(ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Tương tự:\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)(1)
Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow3+2+2+2-9\ge0\)(luôn đúng)
Vậy..........................................................................................
Dấu "=" <=> a=b=c
Nếu như tớ làm đúng thì bạn k cho tớ với nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Thanks bạn trước!
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng engel , ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c