K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
BC
1
11 tháng 3 2021
Ta cần chứng minh: \(\dfrac{a^2}{2}+b^2+c^2>ab+bc+ca\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2}+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2+ab+ca+2bc-3bc+\dfrac{a^2}{4}>0\) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}+b+c\right)^2+\dfrac{a^2}{12}+\dfrac{a^2}{6}-3bc>0\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}+b+c\right)^2+\dfrac{a^2-36bc}{12}+\dfrac{a^2}{6}>0\) Mà \(a^3>36;abc=1\Rightarrow a^3>36abc\Rightarrow a^2>36bc\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{2}+b+c\right)^2+\dfrac{a^2-36bc}{12}+\dfrac{a^2}{6}>0\) luôn đúng
BC
11 tháng 3 2021
Này Nguyễn Trọng Chiến, mk ko hiểu cái chỗ tách ra thành: \(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2+ab+ca+2bc-3bc+\dfrac{a^2}{4}>0\). Sao bn tách đc vậy??
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 6 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+1}\leq \frac{c^2+2}{(a+b+c)^2}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\text{VT}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+6}{(a+b+c)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+2.3}=1$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
V
0
G
0
NT
0
\(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{1}{2}\)
Lại có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\le2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le1\)