K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 9 2020

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức :

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Bất đẳng thức được chứng minh 

4 tháng 9 2020

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng cộng mẫu:

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

27 tháng 5 2019

1. đặt b + c - a = x, a + c - b = y , a + b - c = z thì x,y,z > 0

theo bất đẳng thức ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) \(\ge\)8xyz ( tự chứng minh ) , ta có :

2a . 2b . 2c \(\ge\)8 ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )

\(\Rightarrow\)abc \(\ge\)( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c

27 tháng 5 2019

Ta có a + b > c, b + c > a, a + c > b

Xét \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c+b}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)

tương tự : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c}\)

vậy ...

26 tháng 11 2020

Tự nhiên lục được cái này :'( 

3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

18 tháng 11 2017

Đặt a+b-c=x

       b+c-a=y

      c+a-b=z

\(A=\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\)

Ta có a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác nên x;y;z>0

\(4A=\frac{2a.2b}{x}+\frac{2b.2c}{y}+\frac{2c.2a}{z}\)

\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{z}\)

\(=3\left(x+y+z\right)+\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)

\(\ge3\left(x+y+z\right)+\frac{\left(x+y+z\right)xyz}{xyz}\)\(=4\left(x+y+z\right)=4\left(a+b+c\right)\)  (Do x;y;z>0)

\(\Rightarrow A\ge a+b+c\)

17 tháng 4 2018

kết bạn với mk đi 

19 tháng 8 2017

Theo nguyện vọng đặt ẩn phụ :

Đặt b+c-a=x ; c+a-b=y ; a+b-c=z

\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}=\frac{\left(y+z\right)^2}{4x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{4y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4z}\)

Áp dụng BĐT Schwarz:

\(\frac{\left(y+z\right)^2}{4x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{4y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4z}\ge\frac{\left(2\left(x+y+z\right)\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z=a+b+c\)

Dấu''='' tự giải ra nhá.

P/s Bài này đặt ẩn phụ rất dài dòng, bn chỉ cần Schwarz thẳng là ra luôn

21 tháng 6 2020

Không cần đặt ẩn phụ, ta có thể làm cách sau:

Xét \(\frac{a^2}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)}=2a\)

Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{b^2}{c+a-b}+\left(c+a-b\right)\ge2b\)và \(\frac{c^2}{a+b-c}+\left(a+b-c\right)\ge2c\)

\(\Rightarrow VT+2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

28 tháng 7 2020

Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)

⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2

⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự

⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y

⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0

(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)

dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c

Mai Anh ! cậu giỏi quá, cậu nè :33