Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow a\left(a+2\right)\left(c+2\right)+b\left(a+2\right)\left(c+2\right)+c\left(b+2\right)\left(c+2\right)\le\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab^2+bc^2+ca^2\le8+abc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le2+abc\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc\ge b^2+ac\)
\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)
\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le bc^2+a^2b+abc=b\left(a^2+c^2\right)+abc=b\left(2-b^2\right)+abc\)
\(=2+abc-\left(b-1\right)^2\left(b+2\right)\le2+abc\) (đpcm)
Đáp án D
Phương pháp:
- Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c khác 0
- Sử dụng bất đẳng thức
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Cách giải:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình:
Khoảng cách từ O đến (ABC):
Ta có
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}+b-\frac{2bc^2}{b+2c^2}+c-\frac{2ca^2}{c+2a^2}\)
\(=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+2b^2}+\frac{bc^2}{b+2c^2}+\frac{ca^2}{c+2a^2}\right)\)
\(=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+b^2+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2+a^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(\text{VT}\geq (a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}+\frac{bc^2}{3\sqrt[3]{bc^4}}+\frac{ca^2}{3\sqrt[3]{ca^4}}\right)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq (a+b+c)-\frac{2}{3}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})\)
Áp dụng BĐT Cauchy tiếp:
\(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq \frac{ab+ab+1}{3}+\frac{bc+bc+1}{3}+\frac{ca+ca+1}{3}\)
\(=\frac{2(ab+bc+ac)+3}{3}\leq \frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{3}\)
Do đó: \(\text{VT}\geq (a+b+c)-\frac{2}{3}.\frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{3}=1\) do $a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
\(P=\dfrac{a}{2b+3c}+\dfrac{b}{2c+3a}+\dfrac{c}{2a+3b}\left(a;b;c>0\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{a^2}{2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{2ac+3bc}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}\left(1\right)\)
Theo bất đẳng thức Cauchy :
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\a^2+c^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow P=\dfrac{a^2}{2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{2ac+3bc}\ge\dfrac{ab+bc+ca+2\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy \(Min\left(P\right)=\dfrac{3}{5}\left(tại.a=b=c\right)\)
Bổ sung chứng minh Bất đẳng thức :
\(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)
Theo BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(\dfrac{a}{\sqrt[]{m}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt[]{n}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt[]{q}}\right)^2.\left[\left(\sqrt[]{m}\right)^2+\left(\sqrt[]{n}\right)^2+\left(\sqrt[]{q}\right)^2\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)
\(a^2+4b^2=23ab\Rightarrow a^2+4ab+4b^2=27ab\Rightarrow\left(a+2b\right)^2=27ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+2b\right)^2}{9}=3ab\)\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+2b}{3}\right)^2=3ab\)
Lấy logarit cơ số c hai vế:
\(log_c\left(\dfrac{a+2b}{3}\right)^2=log_c\left(3ab\right)\)
\(\Rightarrow2log_c\dfrac{a+2b}{3}=log_c3+log_ca+log_cb\)
\(\Rightarrow log_c\dfrac{a+2b}{3}=\dfrac{1}{2}\left(log_ca+log_cb+log_c3\right)\)
Bạn ơi tại sao có khoảng trống vậy??? khoảng trống ấy là gì