Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c})=0$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(c+a)(c+b)=0$
$\Leftrightarrow a+b=0$ hoặc $c+a=0$ hoặc $c+b=0$
Không mất tổng quát giả sử $a+b=0$
$\Leftrightarrow a=-b$.
Khi đó:
$\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{(-b)^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}$
$=\frac{-1}{b^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}$
$=\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{(-b)^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}$
$=\frac{1}{a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}$ (đpcm)
Lần sau bạn lưu ghi đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt nhất. Mọi người đọc đề của bạn dễ hiểu thì cũng sẽ dễ giúp hơn.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab+bc+ac\right).\left(a+b+c\right)-abc}{abc.\left(a+b+c\right)}=0\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right).\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right).\left(a+c\right).\left(c+b\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-b\\a=-c\end{cases}\text{hoac }c=-b}\)
thay vào rồi tính (nhớ đưa dấu âm lên tử nha) còn phần phan tích sẽ giải thích sau-bây h bận >:
\(\left(a+b+c\right).\left(ab+ac+bc\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^2c+a^2b+abc+b^2a+b^2c+abc+c^2a+c^2b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(abc+a^2c\right)+\left(abc+b^2c\right)+\left(a^2b+ab^2\right)+\left(c^2a+c^2b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ac.\left(a+b\right)+cb.\left(a+b\right)+ab.\left(a+b\right)+c^2.\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right).\left(ac+cb+ab+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right).\left[c\left(a+c\right)+b.\left(a+c\right)\right]=\left(a+b\right).\left(a+c\right).\left(c+b\right)=0\)
~~ cách này dài dòng >: but t ko nghĩ đc cách nào ngắn hưn =(
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}(vì a+b+c=3)\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}= \dfrac{1}{a+b+c}- \dfrac{1}{c }\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{b+a}{ab}=\dfrac{c-a-b-c}{ac+bc+c^{2}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a+b}{-ac-bc-c^2}\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ ab=-ac-bc-c^2 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ ab+ac+bc+c^2=0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ (a+c)(b+c)=0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ a+c=0\\ b+c=0 \end{array} \right.\)
Vì vai trò của a,b,c là như nhau nên ta giả sử a+b=0
mà a+b+c=0
\(\Rightarrow c=3\)
Thay c=3 vào biểu thức P ta có:
\(P=(a-3)^{2017}.(b-3)^{2017}.(3-3)^{2017} =0 \)
Vậy P=0
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2017}\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)( do a + b + c = 2017 )
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(bc+ac+ab\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(bc+ac\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)+abc-abc=0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[b\left(c+a\right)+c\left(c+a\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
Ta có : hoặc a+b =0
hoặc b+c =0
hoặc c+a = 0
Mà \(a+b+c=2017\)
\(\Rightarrow\)hoặc a = 2017; hoặc b = 2017 ; hoặc c = 2017
Vậy ...
Thay a+b+c=2017 vào \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2017}\) ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{c\left(b+c\right)+ca+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(b+c\right)+ca+ab\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(a+b=0\) hoặc \(b+c=0\) hoặc \(c+a=0\)
\(\Rightarrow\)\(c=2017\)hoặc \(a=2017\) hoặc \(b=2017\left(đpcm\right)\)
