Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: ΔOMN cân tại O có OD là trung tuyến
nên OD vuông góc NA
góc ODA=góc OBA=90 độ
=>ODBA nội tiếp
b; Xét ΔABM và ΔANB có
góc ABM=góc ANB
góc BAM chung
=>ΔABM đồng dạng với ΔANB
=>AB/AN=AM/AB
=>AB^2=AN*AM
Gọi I là giao điểm của AX và BY.
Ta có: ^XAY = ^YBX = 900 => Tứ giác ABXY nội tiếp đường tròn đường kính XY => ^BAX = ^BYX
Mà ^BYX = ^BHX nên ^BAX = ^BHX => \(\Delta\)XHB ~ \(\Delta\)XBA (g.g) => XB2 = XH.XA
Hay XZ2 = XH.XA => \(\Delta\)XHZ ~ \(\Delta\)XZA (c.g.c) => ^XZH = ^XAZ => ^XEZ = ^XAZ
=> Tứ giác AEXZ nội tiếp => ^AXE = ^AZE = 1800 - ^XZE - ^YZA = 1800 - ^XAZ - ^YAZ = 1800 - ^XAY = 900
=> ^AXE = ^XAY (=900) => XE // YA. Tương tự: XB // YF => ^BXE = ^FYA
Mà 2 tam giác BXE và FYA cân tại các đỉnh X và Y nên \(\Delta\)BXE ~ \(\Delta\)FYA (g.g)
=> \(\frac{BE}{FA}=\frac{XE}{YA}=\frac{XB}{YA}=\frac{IB}{IA}\)(Do \(\Delta\)BIX ~ \(\Delta\)AIY).
Đồng thời: BE,FA là cặp cạnh tương ứng của \(\Delta\)BXE ~ \(\Delta\)FYA . Mà XE // YA, XB // YF nên BE // FA
Áp dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{BE}{FA}=\frac{TB}{TA}\). Từ đó: \(\frac{IB}{IA}=\frac{TB}{TA}\)=> IT là phân giác ^AIB (1)
Mặt khác: \(\frac{IX}{IY}=\frac{BX}{AY}=\frac{BZ}{AZ}\)=> BZ là phân giác ^XIY (2)
Từ (1) và (2), kết hợp với ^AIB, ^XIY đối đỉnh => Z,I,T thẳng hàng => ZT đi qua I
Do đó: 3 đường thẳng XA,YB,ZT đồng quy (đpcm).
Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
=> BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
=>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
(Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/
(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
=> ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).
