cho 3 so tự nhiên a,b,c . CMR nếu a+b+c \(⋮\)3 thì\(a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2⋮6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 6 2016
Đặt: \(S=a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2=\)
\(S=a^3-a+b^3-b+c^3-c+3a^2-3a+3b^2-3b+3c^2-3c+4\cdot\left(a+b+c\right)\)
Ta có: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Tương tự b3 - b và c3 - c cũng chia hết cho 6. (1).
Mặt khác, \(3a^2-3a=3a\left(a-1\right)\)chia hết cho 3 mà a(a-1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => a(a-1) chia hết cho 2. Do đó 3a(a-1) chia hết cho 6 => 3a2 - 3a chia hết cho 6. Tương tự, 3b2 - 3b; 3c2 - 3c cũng chia hết cho 6. (2)
Theo đề bài thì a+b+c chia hết cho 3 nên 4*(a+b+c) chia hết cho 6 (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra S là tổng các số chia hết cho 6 nên S chia hết cho 6. đpcm
15 tháng 2 2017
Ta có: \(S=a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2\)
\(=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)+\left(3a^2-3a\right)+\left(3b^2-3b\right)+\left(3c^2-3c\right)+4\left(a+b+c\right)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)+3a\left(a-1\right)+3b\left(b-1\right)+3c\left(c-1\right)+4\left(a+b+c\right)\)
Ta thấy: \(\hept{\begin{cases}a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\\b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\\c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\end{cases}}\)(1)
\(\hept{\begin{cases}3a\left(a-1\right)⋮6\\3b\left(b-1\right)⋮6\\3c\left(c-1\right)⋮6\end{cases}}\)(2)
\(4\left(a+b+c\right)⋮6\)(3)
Từ (1),(2),(3) ta suy ra \(S⋮6\)
NT
0
FT
2
NT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2023
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le1\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}=\dfrac{a}{a+\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}\le\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Cộng vế:
\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bổ sung phần chia hết cho 2 này:
\(a^3+3a^2\)
\(=a^2\left(a+3\right)\)
Xét a chẵn và a lẻ
\(\Rightarrow a^3+3a^2⋮2\)
Tương tự \(b^3+3b^2⋮2\)
\(c^3+3c^2⋮3\)
ta có A=\(a^3+b^3+c^3-3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3abc\)
=\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)⋮3\left(\forall a+b+c⋮3\right)\)
^_^