1. Cho 40 số nguyên dương a1, a2, ..., a19 và b1,b2, ..., b21 thoă mãn đồng thời 2 điều kiện sau:ĐK1: \(1\le a_1< a_2< ...< a_{19}\le200.\)ĐK2: \(1\le b_1< b_2< ...< b_{21}\le200.\)CMR Tồn tại 4 số ai...

0

TD

Tạ Duy Phương

30 tháng 11 2015

Cho \(\frac{1}{2010}\le\frac{a_i}{b_i}\le\frac{1}{2009},\text{ với }a_1,a_2,.....,a_{2000}\text{ và }b_1,b_2,......,b_{2000}\)là các số thực dương. CMR:

\(\frac{1}{2010}\le\frac{a_1+a_2+...+a_{2010}}{b_1+b_2+...+b_{2010}}\le\frac{1}{2009}\)

0

LT

Lê Thị Hoàng Linh

10 tháng 1 2019

giả sử a1, b1, c1, a2, b2, c2 là các số khác 0 thỏa mãn các đk:

\(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac{c_1}{c_2}=0\) và \(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}=1\)

CMR: \(\dfrac{a^2_2}{a_1^2}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}=1\)

#Toán lớp 8

2

MS

Mashiro Shiina

10 tháng 1 2019

Ta có:

\(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}=1\Rightarrow\left(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2_2}{a^2_1}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+2\left(\dfrac{a_2b_2}{a_1b_1}+\dfrac{b_2c_2}{b_1c_1}+\dfrac{c_2a_2}{a_1c_1}\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{a_2^2}{a^2_1}+\dfrac{b^2_2}{b^2_1}+\dfrac{c^2_2}{c^2_1}+2\left(\dfrac{a_2b_2c_1+b_2c_2a_1+c_2a_2b_1}{a_1b_1c_1}\right)=1\)(1)

Theo giả thiết:

\(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac{c_1}{c_2}=0\Leftrightarrow\dfrac{a_1b_2c_2+b_1a_2c_2+c_1a_2b_2}{a_2b_2c_2}=0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

TN

Trần Nguyễn Đinh Phong

10 tháng 1 2019

Đặt \(\dfrac{a_1}{a_2}=p;\dfrac{b_1}{b_2}=q;\dfrac{c_1}{c_2}=r\), có:

\(p+q+r=0\) (1)

\(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}=1\) (2)

Từ (2) => \(\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{q^2}+\dfrac{1}{r^2}+2\dfrac{p+q+r}{pqr}=1\)

Kết hợp với (1), ta được: \(\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{q^2}+\dfrac{1}{r^2}=1\Rightarrow\dfrac{a^2_2}{a^2_1}+\dfrac{b^2_2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c^2_1}=1\left(đpcm\right)\)

Với \(n1\) là số nguyên dương cho trước, xét \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\) và \(\left(b_1,b_2,...,b_n\right)\) là hai hoán vị khác nhau của các số trong bộ \(\left(\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{n}\right)\), đồng thời thỏa mãn điều kiện \(a_1+b_1\ge a_2+b_2\ge...\ge a_n+b_n\). a) Với \(n=2022\), hỏi có hay không hai hoán vị mà \(a_i\ne b_i,\forall i=\overline{1,2022}\) và \(\dfrac{a_1+b_1}{a_{2022}+b_{2022}}\inℤ\)? b) Chứng minh rằng ta...

LS

Lê Song Phương

7 tháng 9 2023

#Toán lớp 10

0

BN

Bùi nguyễn Hoài Anh

23 tháng 4 2016

Cho số nguyên dương a1,a2,a3,...,a2015 tm điều kiện"

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\ge89\)

CMR trong 2015 số nguyên dương đó , luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.

3

SL

s2 Lắc Lư s2

23 tháng 4 2016

trong sách nâng cao và phất triển 1 số chuyên đề toàn 9 tập 1 có đó

BN

Bùi nguyễn Hoài Anh

23 tháng 4 2016

p giải giúp mik đk k .. mik k có sách đấy

PT

phan tuấn anh

27 tháng 4 2016

Câu hỏi hay

cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2015 thỏa mãn điều kiện

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\ge89\)

chứng minh rằng trong 2015 số nguyên dương đó luôn tồn tại ít nhất 2 sô bằng nhau

3

NT

Nguyễn Tuấn Anh

28 tháng 4 2016

Vì \(a_1,a_2,....,a_{2015}\)là các số nguyên dương, để không mất tính tổng quát ta giả sử \(a_1\le a_2\le a_3\le.....\le a_{2015}\)Suy ra
\(a_1\ge1,a_2\ge2,.......,a_{2015}\ge2015\) Vậy ta có \(A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..........+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{2015}}=B\)

\(B=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2015}}<1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}=C\)

Ta có trục căn thức ở mẫu của \(C\)Ta có: \(C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}+\sqrt{2014}-\sqrt{2013}+.....+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1\)

Mà: \(C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1<89\)Trái với giả thiết Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 2015 số nguyên dương đó

TG

Thân Gia Bảo

28 tháng 4 2016

http://olm.vn/thanhvien/phantuananhlop9a1

20 số nguyên dương a1, a2,...,a20 thảo mãn 1< hoặc = 200 và 20 số nguyên dương b1,b2,....,b20 thảo mãn 1<= b1<b1<b2<...<b20<=200. CMR tồn tại 2 số i,j,k,h mà i<j,k <h sao cho aj-ai=bh-bk gợi ý yêu cầu bài toán tương đương với tồn tại i,j,k,h sao cho aj+bk= ai+bh . hãy xét dãy tổng ( có bao nhiêu tổng , nhận những giá trị...

P

phamduchuhuy

23 tháng 5 2023

#Toán lớp 6

0

FY

forever young

20 tháng 2 2019

cho hai dãy số cùng chiều \(a_1\le a_2\le a_3;b_1\le b_2\le b_3\)

CMR \(\left(a_1+a_2+a_3\right)\left(b_1+b_2+b_3\right)\le3\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right)\)

1

I

Incursion_03

20 tháng 2 2019

Xét hiệu \(\left(a_1+a_2+a_3\right)\left(b_1+b_2+b_3\right)-3\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right)\)

\(=a_1\left(b_1+b_2+b_3\right)+a_2\left(b_1+b_2+b_3\right)+a_3\left(b_1+b_2+b_3\right)-3a_1b_1-3a_2b_2-3a_3b_3\)

\(=a_1\left(b_1+b_2+b_3-3b_1\right)+a_2\left(b_1+b_2+b_3-3b_2\right)+a_3\left(b_1+b_2+b_3-3b_3\right)\)

\(=a_1\left(b_2+b_3-2b_1\right)+a_2\left(b_1+b_3-2b_2\right)+a_3\left(b_1+b_2-2b_3\right)\)

\(=a_1\left[\left(b_2-b_1\right)-\left(b_1-b_3\right)\right]+a_2\left[\left(b_3-b_2\right)-\left(b_2-b_1\right)\right]+a_3\left[\left(b_1-b_3\right)-\left(b_3-b_2\right)\right]\)

\(=a_1\left(b_2-b_1\right)-a_1\left(b_1-b_3\right)+a_2\left(b_3-b_2\right)-a_2\left(b_2-b_1\right)+a_3\left(b_1-b_3\right)-a_3\left(b_3-b_2\right)\)

\(=\left(a_1-a_2\right)\left(b_2-b_1\right)+\left(a_3-a_1\right)\left(b_1-b_3\right)+\left(a_2-a_3\right)\left(b_3-b_2\right)\)

Do giả thiết nên dễ thấy từng số hạng trên đều nhỏ hơn 0 nên tổng nhỏ hơn 0

=> ĐPCM

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a_1=a_2=a_3\\b_1=b_2=b_3\end{cases}}\)

Giả sử a1,b1,c1,a2,b2,c2 là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{a_1}{a_2}\)+ \(\frac{b_1}{b_2}\)+\(\frac{c_1}{c_2}\)= 0 và \(\frac{a_2}{a_1}\)+\(\frac{b_2}{b_1}\)+\(\frac{c_2}{c_1}\)=1. Chứng minh rằng \(\frac{^{a_{2^2}}}{^{a_{ }}_{ }_{...

TN

tuyết nguyễn

3 tháng 12 2016

#Toán lớp 8

2

AN

alibaba nguyễn

3 tháng 12 2016

Đặt \(\hept{1\begin{cases}\frac{a_2}{a_1}=x\\\frac{b_2}{b_1}=y\\\frac{c_2}{c_1}=z\end{cases}}\)

Thì bài toán thành

x + y + z = 1(1); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\left(2\right)\)

Chứng minh x² + y² + z²= 1

Từ (2) ta có \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

Từ (1) ta có

(x + y + z)² = 1

<=> x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 0

<=> x² + y² + z² = 1

PP

Phạm Phương Trang

3 tháng 12 2016

bằng 1 đó chắc chắn lun

HN

Hoàng Ngọc Tuyết Nung

2 tháng 7 2018

cho \(a_1\le a_2\le a_3\) và \(b_1\le b_2\le b_3\)

cmr:\(\dfrac{a_1+a_2}{2}.\dfrac{b_1+b_2}{2}\le\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{2}\)