K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 8 2017

\(\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+2\)

Do \(x>1\) nên \(x-1>0;\frac{1}{x-1}>0\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(x-1+\frac{1}{x-1}\ge2\sqrt{\left(x-1\right).\frac{1}{x-1}}=2\)

\(\Rightarrow x-1+\frac{1}{x-1}+2\ge4\) hay \(\frac{x^2}{x-1}\ge4\) có GTNN là 4

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=2\)

26 tháng 8 2017

Ta có \(\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}\)+2. Áp dụng cosi cho 2 số x+1 và 1/x-1 ta có x+1+1/x-1\(\ge\)2\(\sqrt{\left(x-1\right)\frac{1}{x-1}}=1\), suy ra biểu thức \(\ge\)3, vậy giá trị nn =3 khi x-1=1/x-1, đến đó bn giải tìm x nha

NV
26 tháng 12 2022

Cả 2 biểu thức này đều ko tồn tại GTNN

GTNN chỉ tồn tại khi có thêm điều kiện, với \(\dfrac{x^2}{x+3}\) thì điều kiện là \(x>-3\), còn \(\dfrac{x^2}{x-2}\) thì điều kiện là \(x>2\)

26 tháng 12 2022

viết thiếu, rời mới nhận ra

 

10 tháng 3 2020

Em dùng AM-GM nhá,em ko dùng cosi đâu ha :)

\(S=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\right)+\left(\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Lại có:

\(S=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

\(=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\)

Khi đó:\(2S\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}\Rightarrow S\ge\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=1/2

NV
27 tháng 7 2021

\(A^2=\left(x-y\right)^2=\left(1.x+\dfrac{1}{2}.\left(-2y\right)\right)^2\le\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\left(x^2+4y^2\right)=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5};\dfrac{\sqrt{5}}{10}\right);\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5};-\dfrac{\sqrt{5}}{10}\right)\)

13 tháng 6 2021

đặt \(x-1=t\)ta có :

\(A=t+\frac{1}{t}+2=\frac{t^2}{t}+\frac{1}{t}-\frac{2t}{t}+4=\frac{\left(t-1\right)^2}{t}+4\ge4\)

Dấu "=" xảy ra <=> t = 1 <=> x = 2

1. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.2. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)4. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: a b a b   5. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4ab) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 86. Chứng minh các bất đẳng thức:a) (a...
Đọc tiếp

1. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

2. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

4. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: a b a b   

5. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

6. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

7. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

8. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

9. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của avà b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

10. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

11. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

3
23 tháng 10 2016

bài 5 nhé:

a) (a+1)2>=4a

<=>a2+2a+1>=4a

<=>a2-2a+1.>=0

<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)

vậy......

b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:

a+1>=\(2\sqrt{a}\)

tương tự ta có:

b+1>=\(2\sqrt{b}\)

c+1>=\(2\sqrt{c}\)

nhân vế với vế ta có:

(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)

<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)

vậy....

23 tháng 10 2016

bạn nên viết ra từng câu

Chứ để như thế này khó nhìn lắm

9 tháng 12 2023

\(\left(x+3\right)^2=x^2+6x+9\le x^2+\left(9x^2+1\right)+9=10\left(x^2+1\right)\)

Suy ra: \(P=\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}\le\sqrt{10}\)

Vậy \(MaxP=\sqrt{10}\) (khi \(x=\dfrac{1}{3}\))

9 tháng 12 2023

Tại sao \(x^2+6x+9\le x^2+\left(9x^2+1\right)+9\) vậy ạ?

1 tháng 10 2015

P = x4.y+ x+ y+ 1 

Ta có: x+ y= (x + y)- 2xy = 10 - 2xy => x+ y= (x+ y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2

=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)+ 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]+ 10.(xy - 2)2 + 45

=> P > 45 

Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2 

Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y\(\sqrt{10}\).y + 2 = 0 

\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)

vậy  P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)\(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

30 tháng 9 2015

hok giỏi nhưng cx có bài bế tắc chứ bộ đâu fai hok giỏi nhất thiết là cái gì cx biết đâu