Cho dãy số \(U_n=\left(1+\sqrt{2}\right)^n+\left(1-\sqrt{2}\right)^n+1\), với \(n\) là số nguyên dương. Tìm công thức tổng quát tính \(U_{n+1}\) theo \(U_n\) và \(U_{n-1}\) với \(n\ge2\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HT
18 tháng 2 2021
\(u_2=\sqrt{2}\left(2+3\right)-3=5\sqrt{2}-3\)
\(u_3=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.5\sqrt{2}-3=5\sqrt{3}-3\)
\(u_4=\sqrt{\dfrac{4}{3}}.5\sqrt{3}-3=5\sqrt{4}-3\)
....
\(\Rightarrow u_n=5\sqrt{n}-3\)
\(\Rightarrow\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=\lim\limits\dfrac{5\sqrt{n}-3}{\sqrt{n}}=5\)
15 tháng 10 2023
1:
a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)
\(u_5=2\cdot29+3=61\)
b: \(u_2=u_1+2^2\)
\(u_3=u_2+2^3\)
\(u_4=u_3+2^4\)
\(u_5=u_4+2^5\)
Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
a) \({u_1} = 1\)
\( \Rightarrow {u_2} = 2.1 = 2\)
\( \Rightarrow {u_3} = 3.2 = 6\)
\( \Rightarrow {u_4} = 4.6 = 24\)
\( \Rightarrow {u_5} = 5.24 = 120\)
b)
Ta có:
\({u_2} = 2 = 2.1 \)
\({u_3} = 6= 1.2.3 \)
\({u_4} = 24 = 1.2.3.4\)
\({u_5} = 120 = 1.2.3.4.5\)
\( \Rightarrow {u_n} = 1.2.3....n = n!\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2021
\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{u_n}\)
Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=2v_n+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(v_n+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n+\dfrac{1}{2}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 2 \(\Rightarrow x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}=3.2^{n-2}\)
\(\Leftrightarrow v_n=x_n-\dfrac{1}{2}=3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_2} = \frac{{{u_1}}}{{1 + {u_1}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}\\{u_3} = \frac{{{u_2}}}{{1 + {u_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\end{array}\)
Suy ra, \({u_n} = \frac{1}{n}\)
Ta tính một vài giá trị đầu của Un:
\(U_1=3;U_2=7;U_3=15;U_4=35;U_5=83\)
Đặt \(U_{n+1}=aU_n+bU_{n-1}+c\) (*)
Khi đó thay lần lượt \(n=2,n=3,n=4\) vào (*), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}15=7a+3b+c\\35=15a+7b+c\\83=35a+15b+c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\\c=-2\end{matrix}\right.\)
Do đó \(U_{n+1}=2U_n+U_{n-1}-2\)