Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có:
\(u_2=2u_1=2.3\\ u_3=2u_2=2.2.3=2^2.3\\ u_4=2u_3=2.2^2.3=2^3.3\)
b) \(u_n=2^{n-1}.3\)
\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2}\\{u_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\{u_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4}\\{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\end{array}\)
\(a,\left\{{}\begin{matrix}u_3-u_1=20\\u_2+u_5=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(u_1+2d\right)-u_1=20\\\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2d=20\\2u_1+5d=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=10\\u_1=2\end{matrix}\right.\)
Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=10\)
\(b,\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_3=0\\u_2+u_5=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+2d=0\\u_1+d+u_1+4d=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-60\\d=40\end{matrix}\right.\)
Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=-60\) và công sai \(d=40\)
\(c,\left\{{}\begin{matrix}u_5-u_2=3\\u_8\cdot u_3=24\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+4d-u_1-d=3\\\left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=1\left(1\right)\\\left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Thế (1) vào (2), ta được:
\(\left(u_1+7\cdot1\right)\left(u_1+2\cdot1\right)=24\\ \Leftrightarrow u_1^2+9u_1-10=0\\ \Leftrightarrow\left(u_1-1\right)\left(u_1+10\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u_1=1\\u_1=-10\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn:
- Cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=1\)
- Cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=-10\) và công sai \(d=1\)
a)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_1} = 15\\{u_4} - {u_2} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} - {u_1} = 15\\{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^4} - 1} \right) = 15\\{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^2} - 1} \right)\left( {{q^2} + 1} \right) = 15\left( 1 \right)\\{u_1}.q\left( {{q^2} - 1} \right) = 6\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do \(q = \pm 1\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
\(\frac{q}{{{q^2} + 1}} = \frac{6}{{15}} \Leftrightarrow 15q = 6\left( {{q^2} + 1} \right) \Leftrightarrow 15q = 6{q^2} + 6 \Leftrightarrow 6{q^2} - 15q + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{2}\\q = 2\end{array} \right.\)
Với \(q = \frac{1}{2}\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.\frac{1}{2}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = - 16\).
Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.2\left( {{2^2} - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = 1\).
Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2\).
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = - 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
b)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65\\{u_1} + {u_7} = 325\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^4} = 65\\{u_1} + {u_1}.{q^6} = 325\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right) = 65\left( 1 \right)\\{u_1}\left( {1 + {q^6}} \right) = 325\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{1 - {q^2} + {q^4}}}{{1 + {q^6}}} = \frac{{65}}{{325}} \Leftrightarrow \frac{{1 - {q^2} + {q^4}}}{{1 + {q^6}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 1 + {q^6} = 5\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + {q^6} = 5 - 5{q^2} + 5{q^4} \Leftrightarrow {q^6} - 5{q^4} + 5{q^2} - 4 = 0\end{array}\)
Đặt \({q^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\). Khi đó phương trình có dạng:
\({t^3} - 5{t^2} + 5t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow {q^2} = 4 \Leftrightarrow q = \pm 2\)
Với \(q = - 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}\left( {1 + {{\left( { - 2} \right)}^6}} \right) = 325 \Leftrightarrow {u_1} = 5\).
Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}\left( {1 + {2^6}} \right) = 325 \Leftrightarrow {u_1} = 5\).
Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = 2\).
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = - 2\).
a) \({u_1} = 1\)
\( \Rightarrow {u_2} = 2.1 = 2\)
\( \Rightarrow {u_3} = 3.2 = 6\)
\( \Rightarrow {u_4} = 4.6 = 24\)
\( \Rightarrow {u_5} = 5.24 = 120\)
b)
Ta có:
\({u_2} = 2 = 2.1 \)
\({u_3} = 6= 1.2.3 \)
\({u_4} = 24 = 1.2.3.4\)
\({u_5} = 120 = 1.2.3.4.5\)
\( \Rightarrow {u_n} = 1.2.3....n = n!\).
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\)
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = 2\).
b)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 60\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 60\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 60\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do \({u_1} = 0\) và \(q = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
\(\frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = \frac{{144}}{{60}} \Leftrightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} =\frac{{12}}{{5}} \Leftrightarrow 5q\left( {{q^2} - 1} \right) = 12\left( {{q^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 5{q^3} - 12q = 5{q^2} + 12 \Leftrightarrow 5{q^3} - 12{q^2} - 5q - 12 = 0 \Leftrightarrow q=3\) thế vào (1) ta được \({u_1}=2\).
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\).
\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{u_n}\)
Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=2v_n+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(v_n+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n+\dfrac{1}{2}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 2 \(\Rightarrow x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}=3.2^{n-2}\)
\(\Leftrightarrow v_n=x_n-\dfrac{1}{2}=3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_2} = \frac{{{u_1}}}{{1 + {u_1}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}\\{u_3} = \frac{{{u_2}}}{{1 + {u_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\end{array}\)
Suy ra, \({u_n} = \frac{1}{n}\)