Chứng minh rằng:
Nếu (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = (a + b - 2c)2 + (b + c - 2a)2 + (c + a - 2b)2 thì a = b = c.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2022
\(\dfrac{a^2b^2}{2a^2+b^2+3a^2b^2}=\dfrac{a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+a^2b^2\right)+2a^2b^2}\le\dfrac{a^2b^2}{2ab+2a^2b+2a^2b^2}=\dfrac{ab}{2\left(1+a+ab\right)}\)
Tương tự và cộng lại;
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{bc}{1+b+bc}+\dfrac{ca}{1+c+ca}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{abc}{a+ab+abc}+\dfrac{ab.ca}{ab+abc+ab.ca}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{1}{a+ab+1}+\dfrac{a}{ab+1+a}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
VJ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2021
Đề bài sai
Phản ví dụ: \(a=\dfrac{1}{2};b=2;c=4\) vì VT<VP
TM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 6 2023
Lời giải:
Đặt $a-b=x; b-c=y, c-a=z$ thì $x+y+z=0$.
ĐKĐB tương đương với:
$x^2+y^2+z^2=(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2=0$
$\Rightarrow x=y=z=0$
$\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0$
$\Leftrightarrow a=b=c$ (ta có đpcm)
TM
1
14 tháng 6 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\) thì ta có \(x+y+z=0\). Điều kiện đã cho tương đương \(x^2+y^2+z^2=\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=4\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(xy+yz+zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)
\(\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có đpcm
NT
4
NY
26 tháng 8 2020
Ta có :
\(a^2b+b^2c+c^2a\ge\frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(1+2a^2b^2c^2\right)\ge9a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^{3v}+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)(*)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2b+a^4b^3c^2+a^3b^2c^4\ge3\sqrt[3]{a^9b^6c^6}=3a^3b^2c^2\)
\(b^2c+a^2b^4c^3+a^4b^3c^2\ge3a^2b^3c^2\)
\(c^2a+a^3b^2c^4+a^2b^4c^4\ge3a^2b^2c^3\)
Cộng theo vế
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)
Vậy $(*)$ đúng
Do đó ta có đpcm
#Cừu
NH
1
30 tháng 1 2017
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a+b-2c)^2 + (b+c-2a)^2 + (c+a-2b)^2
<=> (a+b-2c)^2 - (a-b)^2 + (b+c-2a)^2 - (b-c)^2 + (c+a-2b)^2 - (c-a)^2 = 0
<=> (2b-2c)(2a-2c) + (2c-2a)(2b-2a) + (2a-2b)(2c-2b) = 0
<=> (b-c)(a-c) + (c-a)(b-a) + (a-b)(c-b) = 0
<=> ab - ac - bc + c^2 + bc - ab - ac - a^2 + ac - bc - ab + b^2 = 0
<=> a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0
<=> (a-b)^2=0; (b-c)^2=0; (c-a)^2=0
<=> a-b=0; b-c=0; c-a=0
<=> a=b=c (đpcm)
NH
0
Lời giải:
Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=z$ thì $x+y+z=0$
Khi đó. Điều kiện đề tương đương với:
$x^2+y^2+z^2=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)=x^2+y^2+z^2$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2=0$
$\Rightarrow x=y=z=0$
$\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$