K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2023

Lời giải:

Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=z$ thì $x+y+z=0$

Khi đó. Điều kiện đề tương đương với:

$x^2+y^2+z^2=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)=x^2+y^2+z^2$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z=0$

$\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 6 2023

Lời giải:

Đặt $a-b=x; b-c=y, c-a=z$ thì $x+y+z=0$.

ĐKĐB tương đương với:

$x^2+y^2+z^2=(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z=0$

$\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$ (ta có đpcm)

14 tháng 6 2023

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\) thì ta có \(x+y+z=0\). Điều kiện đã cho tương đương \(x^2+y^2+z^2=\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có đpcm

30 tháng 1 2017

(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a+b-2c)^2 + (b+c-2a)^2 + (c+a-2b)^2

<=> (a+b-2c)^2 - (a-b)^2 + (b+c-2a)^2 - (b-c)^2 + (c+a-2b)^2 - (c-a)^2 = 0

<=> (2b-2c)(2a-2c) + (2c-2a)(2b-2a) + (2a-2b)(2c-2b) = 0

<=> (b-c)(a-c) + (c-a)(b-a) + (a-b)(c-b) = 0

<=> ab - ac - bc + c^2 + bc - ab - ac - a^2 + ac - bc - ab + b^2 = 0

<=> a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0

<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0

<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0

<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0

<=> (a-b)^2=0; (b-c)^2=0; (c-a)^2=0

<=> a-b=0; b-c=0; c-a=0

<=> a=b=c (đpcm)

Trước hết ta chứng minh các bđt : \(a^7+b^7\ge a^2b^2\left(a^3+b^3\right)\left(1\right)\)

Thật vậy:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\)(luôn đúng)

Lại có : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)

mà \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)(luôn đúng)

Áp dụng các bđt trên vào bài toán ta có

 ∑\(\frac{a^2b^2}{a^7+a^2b^2+b^7}\le\)\(\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b+c\right)}\le\)\(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

28 tháng 2 2020

Em xem lại dòng thứ 4 và giải thích lại giúp cô với! ko đúng hoặc bị nhầm

11 tháng 8 2016

Ta có: (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(a+b-2c)2+(b+c-2a)2+(c+a-2b)2=(a-c+b-c)2+(b-a+c-a)2 +(c-b+a-b)2.

Đặt a-b=x; b-c=y; c-a=z thì ta có:x+y+z=0,→ x2+y2+z2=(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=2(x2 +y2 +z2)-2(yz+xz+yx)

→x2 +y2 +z2+2(xy+yz+xz)=2(x2 +y2 +z2)

hay(x+y+z)2=2(x2 +y2 +z2). Mà x+y+z=0 nên→ x2+y2+z2=0,

→(a-b)2+(b-c)2 +(c-a)2=0↔a-b=b-c=c-a=0→a=b=c(đpcm)

4 tháng 3 2020

Violympic toán 8

4 tháng 3 2020

giả sử a+b=c thì \(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2\)

Như vậy ta đc đpcm