Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Do AN và AM là hai tia phân giác nên \(AN⊥AM\). Vậy thì MN là đường kính của đường tròn O.
Theo tính chất đường kính dây cung, MN vuông góc với BC tại trung điểm BC.
b. Do tam giác AED vuông tại A, K là trung điểm DE nên \(\widehat{EAK}=\widehat{AEK}=\frac{sđ\widebat{NC}-sđ\widebat{AB}}{2}\)(Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
Lại có MN là đường kính nên \(sđ\widebat{NB}+sđ\widebat{BM}=sđ\widebat{NC}+sđ\widebat{CM}\);
Lại do AM là phân giác nên \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\Rightarrow sđ\widebat{BM}=sđ\widebat{CM}\) (Góc nội tiếp)
Vậy thì \(sđ\widebat{NB}=sđ\widebat{NC}\)
Khi đó \(\widehat{EAK}=\widehat{AEK}=\frac{sđ\widebat{NC}-sđ\widebat{AB}}{2}=\frac{sđ\widebat{NB}-sđ\widebat{AB}}{2}=\frac{sđ\widebat{AN}}{2}=\widehat{ABN}\) (góc nội tiếp).
Tam giác ABC có I là giao điểm của 2 đường phân giác của góc B và C
=> AI là phân giác của góc A(1)
Mà tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC
=> AM vừa là đường trung tuyến vừa phân giác của góc A(2)
Từ (1) và (2) suy ra AI trùng AM
=> A; I; M thằng hàng.
Gọi giao điểm của BI với AC là E, giao điểm của CI và AB và F
Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
\(\widehat{ACF}=\widehat{BCF}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)(CF là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\widehat{ACF}=\widehat{BCF}\)
Xét ΔFBC và ΔECB có
\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(ΔABC cân tại A)
BC chung
\(\widehat{FCB}=\widehat{EBC}\)(cmt)
Do đó: ΔFBC=ΔECB(g-c-g)
Suy ra: FB=EC(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)
Xét ΔFBI và ΔECI có
\(\widehat{FBI}=\widehat{ECI}\)(cmt)
FB=EC(cmt)
\(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)(cmt)
Do đó: ΔFBI=ΔECI(g-c-g)
Suy ra: IB=IC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AB=AC(ΔBAC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: IB=IC(cmt)
nên I nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,I,M thẳng hàng(Đpcm)
