Question

[Vân]

Cho tam giac ABC vuông tại A có AB<AC, đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E / AE=AB.EI vuông góc AH tại I. Tia phân giác góc BAC giao BE ở M. CMR

1) tam giác ABM vuông cân

2 IE=AH

3) góc AHM =45 độ

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

1) Do \(\Delta BAE\)có \(AB=AE\Rightarrow\Delta BAE\)cân vuông tại A

Mà \(AM\)là đường phân giác của \(\Delta BAE\)(hay\(\Delta ABC\))

\(\Rightarrow AM\)đồng thời là đường cao của \(\Delta BAE\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AME}=90^0\)

Ta có: \(\widehat{BAM}=\widehat{EAM}=\frac{\widehat{BAE}}{2}=45^0\left(1\right)\).Mà \(\Delta BAE\)vuông cân tại A\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{AEM}=\frac{180^0-\widehat{BAE}}{2}=45^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\Delta ABM\)vuông cân (đpcm)

2) Vì \(\Delta ABC\)có \(\widehat{BAC}=90^0\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}=90^0\left(3\right)\)

Vì H là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow\widehat{AHC}=90^0\Rightarrow\widehat{HAC}+\widehat{ACH}=180^0-\widehat{AHC}=90^0\)(Hay \(\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^0\))\(\left(4\right)\)

Từ (3) và (4)\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{HAC}=90^0-\widehat{ACB}\)(Hay \(\widehat{ABH}=\widehat{IAE}\))

Xét \(\Delta ABH\)và\(\Delta EAI\)có:\(\hept{\begin{cases}\widehat{AHB}=\widehat{EIA}=90^0\\AB=AE\\\widehat{ABH}=\widehat{EAI}\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABH=\Delta EAI\)(cạnh huyền góc nhọn)

\(\Rightarrow IE=AH\)(Đpcm)