Cho a,b,c,d,A,B,C,D là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}\)
CMR \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Giúp mình với các cao nhân
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 8 2016
sửa đề lại bạn nhé =) \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kA\\b=kB\end{cases}va\hept{\begin{cases}c=kC\\d=kD\end{cases}}}\)
theo đề bài ta có \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
=\(\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(1\right)\)
ta lại có \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(kA+kB+kC+kD\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
=\(\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)
(1),(2)=> \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 9 2019
\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=\frac{a+b+c+d}{A+B+C+D}\)
\(\Rightarrow A.a=\frac{A^2\left(a+b+c+d\right)}{A+B+C+D}\Rightarrow\sqrt{Aa}=\frac{A\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{Bb}=\frac{B\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\); \(\sqrt{Cc}=\frac{C\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\); \(\sqrt{Dd}=\frac{D\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\)
Cộng vế với vế:
\(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}=\frac{\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\left(A+B+C+D\right)=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
HN
30 tháng 9 2019
Làm cách này chắt đuoc
Ap dung BDT Bun-nhi-a-cop-xki ta co:
\(\left(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}\right)^2\le\left(A+B+C+D\right)\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}\le\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)Dau '=' xay ra khi \(\frac{A}{a}=\frac{B}{b}=\frac{C}{c}=\frac{D}{d}\)hay \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
Ma theo gia thuyet cua de bai thi:
\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
Nen dang thuc tren ton tai voi \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
N
16 tháng 3 2017
có thiếu ĐK nào k bạn ?
áp dụng BĐT cauchy :
\(\dfrac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\dfrac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{bd}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2\left(c+\sqrt{d}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{bd}}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)}\)
việc còn lại cần chứng minh \(\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)\le2\left(ac+\sqrt{bd}\right)\)(đúng theo BĐT chebyshev)(không mất tính tổng quát giả sừ \(a\le\sqrt{b};c\le\sqrt{d}\))
dấu = xảy ra khi \(a=\sqrt{b};c=\sqrt{d}\)
16 tháng 8 2017
Sửa lại đề \(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\) (cái này có trong CHTT rồi nhé nhưng giờ bỗng dưng rảnh làm lại luôn đỡ mất công tìm)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VP^2=\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)\)
\(\ge\left(\sqrt{a\cdot a'}+\sqrt{b\cdot b'}+\sqrt{c\cdot c'}\right)=VT^2\)
Tức là \(VP\ge VT\)
Xảy ra khi \(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\)
28 tháng 7 2019
Đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\)\(\left(k>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a=Ak;b=Bk;c=Ck;d=Dk\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=A\sqrt{k}+B\sqrt{k}+C\sqrt{k}+D\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\)
\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(Ak+Bk+Ck+Dk\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\)
=> đpcm
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:
\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)
\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)
Do đó:
\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)
\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)
Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m