K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 11 2017

a) sai đề

b) để ý rằng :Theo AM-GM

\(VT=\dfrac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge4\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c.

P/s: Min ra xấp xỉ \(14,4809\)( wolframalpha.com)

NV
26 tháng 3 2023

\(VT=\dfrac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge4\) (AM-GM 4 số hạng)

 

31 tháng 8 2021

Tham Khao

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
(a + b) ≥ 2√ab
(b + c) ≥ 2√bc
(c + a) ≥ 2√ca
Vì a,b,c > 0 nên nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được:
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8√a^2b^2c^2 =8abc (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$

Ta có đpcm.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021

Bài 2:

$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$

$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$

$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$

Cộng theo vế và rút gọn thu được:

$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$ 

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

28 tháng 6 2021

hmmm-khó đấy

 

NV
28 tháng 6 2021

Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn

Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 9 2017

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của BĐT AM-GM:

\(\text{VT}^2=\left[\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)}\right]^2\geq 3\left(\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{bc(b+1)(c+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(c+1)}\right)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}^2\geq 3.\frac{a^2+b^2+c^2+a+b+c}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 3.\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}^2\geq \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\) \((1)\)

Ta sẽ cm \((a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3\). Thật vậy:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)

Cộng theo vế: \(\Rightarrow 3\geq \frac{3(\sqrt[3]{abc}+1)}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)

\(\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (\sqrt[3]{abc}+1)^3\) (2)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}^2\geq \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(1+\sqrt[3]{abc})^3}=\frac{9}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(1+\sqrt[3]{abc})^2}=\text{VP}^2\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \text{VP}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

28 tháng 9 2017

ap dung bdt holder

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 2 2021

Đây là BĐT Iran 96 khá nổi tiếng. Bạn hoàn toàn có thể search trên google lời giải.

17 tháng 2 2021

Nó nổi tiếng mà sao e lại ko biết hiha

5 tháng 12 2018

\(VT\ge\sum\left(\dfrac{a^3}{2a+b+c}\right)=\sum\left(\dfrac{a^3}{\sum a+a}\right)=\sum\dfrac{a^3}{3+a}\)

Ta có BĐT phụ :

\(\dfrac{a^3}{a+3}\ge\dfrac{11a-7}{16}\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(16a+21\right)\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a>0)

Áp dụng BĐT (*) ta có :

\(\sum\dfrac{a^3}{3+a}\ge\dfrac{11\sum a-21}{16}=\dfrac{33-21}{16}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

5 tháng 12 2018

nhầm rồi , mình sorry , \(VT\ge\sum\left(\dfrac{2a^3}{2a+b+c}\right)=\sum\left(\dfrac{2a^3}{3+a}\right)\)

bạn chọn BĐT phụ là :

\(\dfrac{2a^3}{a+3}\ge\dfrac{11a-7}{8}\)

13 tháng 2 2019

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

$ \frac{a^3}{(1 + b)(1 + c)} + \frac{1 + b}{8} + \frac{1 + c}{8} \geq \frac{3}{4}a$

$\frac{b^3}{(1 + c)(1 + a)} + \frac{1 + c}{8} + \frac{1 + a}{8} \geq \frac{3}{4}b$

$\frac{c^3}{(1 + a)(1 + b)} + \frac{1 + a}{8} + \frac{1 + b}{8} \geq \frac{3}{4}c $

Cộng vế theo vế ta được:

$ P + \frac{2(a + b + c) + 6}{8} \geq \frac{3}{4}(a + b + c) $

$<=> P \geq \frac{1}{2}(a + b + c) - \frac{3}{4}$

$=> P \geq \frac{3}{4} (dpcm)$