Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:
\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)
\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)
Do đó:
\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)
\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)
Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m
có thiếu ĐK nào k bạn ?
áp dụng BĐT cauchy :
\(\dfrac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\dfrac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{bd}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2\left(c+\sqrt{d}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{bd}}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)}\)
việc còn lại cần chứng minh \(\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)\le2\left(ac+\sqrt{bd}\right)\)(đúng theo BĐT chebyshev)(không mất tính tổng quát giả sừ \(a\le\sqrt{b};c\le\sqrt{d}\))
dấu = xảy ra khi \(a=\sqrt{b};c=\sqrt{d}\)
b: \(A=\dfrac{x^2+4+1}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}>=2\sqrt{\sqrt{x^2+4}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}}=2\)
a: =>ab+ad+bc+cd>=ab+cd+2căn abcd
=>ad+cb-2căn abcd>=0
=>(căn ad-căn cb)^2>=0(luôn đúng)
Đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\)\(\left(k>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a=Ak;b=Bk;c=Ck;d=Dk\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=A\sqrt{k}+B\sqrt{k}+C\sqrt{k}+D\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\)
\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(Ak+Bk+Ck+Dk\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\)
=> đpcm
sửa đề lại bạn nhé =) \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kA\\b=kB\end{cases}va\hept{\begin{cases}c=kC\\d=kD\end{cases}}}\)
theo đề bài ta có \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
=\(\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(1\right)\)
ta lại có \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(kA+kB+kC+kD\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
=\(\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)
(1),(2)=> \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Đặt vế trái là P:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)
Tương tự với 2 biểu thức còn lại, ta được:
\(P\le\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}\)
\(P\le\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn tham khảo ở đây nhé.
https://olm.vn/hoi-dap/detail/96898674827.html
\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=\frac{a+b+c+d}{A+B+C+D}\)
\(\Rightarrow A.a=\frac{A^2\left(a+b+c+d\right)}{A+B+C+D}\Rightarrow\sqrt{Aa}=\frac{A\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{Bb}=\frac{B\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\); \(\sqrt{Cc}=\frac{C\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\); \(\sqrt{Dd}=\frac{D\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\)
Cộng vế với vế:
\(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}=\frac{\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\left(A+B+C+D\right)=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Làm cách này chắt đuoc
Ap dung BDT Bun-nhi-a-cop-xki ta co:
\(\left(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}\right)^2\le\left(A+B+C+D\right)\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}\le\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)Dau '=' xay ra khi \(\frac{A}{a}=\frac{B}{b}=\frac{C}{c}=\frac{D}{d}\)hay \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
Ma theo gia thuyet cua de bai thi:
\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
Nen dang thuc tren ton tai voi \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
