Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh \(n^3-n\) chia hết cho
24
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
H
2
Những câu hỏi liên quan
KN
1
NN
28 tháng 7 2023
\(A=n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Tich trên là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp
\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮24\) khi đồng thời chia hết cho 3 và 8
+ C/m tích trên chia hết cho 3
Nếu \(n⋮3\Rightarrow A⋮3\)
Nếu n chia 3 dư 1 \(\Rightarrow n-1⋮3\Rightarrow A⋮3\)
Nếu n chia 3 dư 2 \(\Rightarrow n+1⋮3\Rightarrow A⋮3\)
\(\Rightarrow A⋮3\forall n\)
C/m tích trên chia hết cho 8
Do n là số tự nhiên lẻ
Nếu \(n=1\Rightarrow A=0⋮8\)
Nếu \(n\ge3\) => (n-1) và (n+1) chẵn
Đặt \(n=2k+1\left(k\ge1\right)\)
\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)=\)
\(=2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)=\left(4k^2+2k\right)\left(2k+2\right)=\)
\(=8k^3+8k^2+4k^2+4k=8\left(k^3+k^2\right)+4k\left(k+1\right)\)
Với k chẵn đặt \(k=2p\Rightarrow4k\left(k+1\right)=8p\left(2p+1\right)⋮8\)
\(\Rightarrow A=8\left(k^3+k^2\right)+8p\left(2p+1\right)⋮8\)
Với k lẻ đặt \(k=2p+1\Rightarrow4k\left(k+1\right)=4\left(2p+1\right)\left(2p+1+1\right)=\)
\(4\left(2p+1\right)2\left(p+1\right)=8\left(2p+1\right)\left(p+1\right)⋮8\)
\(\Rightarrow A⋮8\forall n\)
\(\Rightarrow A⋮3x8\forall n\Rightarrow A⋮24\forall n\)
22 tháng 9 2015
Bài 1 :
Nếu n lẻ thì n + 1 chẵn do đó tổng n số tự nhiên liên tiếp là \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\) là số chẵn nên không chia hết cho n vì n là số lẻ
Bài 2 :
Nếu n chẵn thì n + 1 lẻ do đó tổng n số tự nhiên liên tiếp là \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\) là số chẵn nên chia hết cho n vì n là số chẵn
DT
1
9 tháng 10 2017
n^3+3n^2-n-3
=(n^3-n)+(3n^2-3)
=n(n^2-1)+3(n^2-1)=(n^2-1)(n+3)
Xét 8=3^2-1
bạn áp dụng vào công thức trên
=>n^2-1 chia hết cho 8
nên nhân với số nào cũng chia hết cho 8
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
a.
Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8
b.
n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)
\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6
\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48
NL
0
n³-n=n(n²-1)=(n-1)n(n+1)
Ta có trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có 1 số chia hết cho 3 nên n³-n chia hết cho 3.
Vì n lẻ => n-1 và n+1 chia hết cho 2
Vì n lẻ => n = 4k+1 hoặc 4k + 3
Với n = 4k + 1 => n-1 =4k chia hết cho 4, n+1=4k+2 chia hết cho 2
=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24
Với n = 4k + 3 => n-1 = 4k+2 chia hết cho 2, n+ 1 = 4(k+1) chia hết cho 4
=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24
Vậy n³-n chia hết cho 24 với n lẻ, n ∈ N
\(\Rightarrow n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) (*)
(*) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow n^3-n⋮3\left(1\right)\)(1)
Vì n là số lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\) Thay vào (*) ta được:
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+1\right)=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\) k(k+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) tồn tại 1 số chia hết cho 2 \(\Rightarrow k\left(k+1\right)⋮2\Rightarrow4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮8\Rightarrow n^3-n⋮8\)(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (3;8)=1 \(\Rightarrow n^3-n⋮24\)