Question

[Love Story]

Câu 1.Tủ sánh của lớp 8A có tổng số sách tham khảo các môn khoa học tự nhiên và khoa học Xã hội là 120 . Trong đó số sách tham khảo về KHTN chiếm 45% . Hỏi cần phải bổ sung thêm vào tủ sách của lớp 8A bao nhiêu cuốn sách về KHXH nữa để số sách tham khảo về KHTN chiếm 40% số sách ?

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông ở A , AB=6cm , AC=8cm ; đường cao AH ( \(H\in BC\) ) , phân giác \(BD\left(D\in AC\right)\) . Gọi \(I\) là giao điểm của AH và BD

a, Tính AD , DC

b, CHứng minh \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\)

c, Chứng minh \(AB.BI=BD.HBvà\Delta AID\) cân

Câu 3: Giải phương trình \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)=297\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1.

Số sách tham khảo về KHTN: \(120.45\%=54\) cuốn

Số sách tham khảo về HKXH: \(120-54=66\) cuốn

Gọi số sách về KHXH cần bổ sung thêm là x>0

\(\Rightarrow\dfrac{54}{120+x}=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}\)

\(\Leftrightarrow270=2\left(120+x\right)\Rightarrow x=15\) (cuốn)

2. \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DC}{BC}\\AD+DC=AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{6}=\dfrac{8-AD}{10}\Rightarrow AD=3\Rightarrow DC=5\)

Trong tam giác ABH, I là chân đường phân giác góc B nên theo định lý phân giác: \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\) (1)

Lại có: \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\) (2) theo định lý phân giác

Đồng thời 2 tam giác vuông ABH và CBA đồng dạng (chung góc B)

\(\Rightarrow\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{AB}{BC}\) (3)

(1); (2); (3) \(\Rightarrow\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\)

Do BD là phân giác \(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{IBH}\) (4)

\(\Rightarrow\) Hai tam giác vuông BAD và BHI đồng dạng

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BD}{BI}\Rightarrow AB.BI=BH.BD\)

Ta có: \(\widehat{ADB}+\widehat{ABD}=90^0\) (tam giác ABD vuông tại A) (5)

Tương tự: \(\widehat{BIH}+\widehat{IBH}=90^0\) 

Mà \(\widehat{BIH}=\widehat{AID}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{AID}+\widehat{IBH}=90^0\) (6)

(4); (5); (6) \(\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{ADB}\Rightarrow\Delta AID\) cân tại A

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

3.

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+5\right)\left(x-3\right)\left(x+7\right)=297\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-5\right)\left(x^2+4x-21\right)=297\)

Đặt \(x^2+4x-5=t\)

\(\Rightarrow t\left(t-16\right)=297\)

\(\Leftrightarrow t^2-16t-297=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=27\\t=-11\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x-5=27\\x^2+4x-5=-11\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x-32=0\\x^2+4x+6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x+8\right)\left(x-4\right)=0\\\left(x+2\right)^2+2=0\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-8\end{matrix}\right.\)