Cho bốn số thực dương a; b ; c và d. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b}\ge2\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn nhiều ạ!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
PK
1
Những câu hỏi liên quan
ML
16 tháng 3 2023
Program HOC24;
var a,b,c,d: integer;
Begin
write('Nhap a: '); readln(a);
write('Nhap b: '); readln(b);
write('Nhap c: '); readln(c);
write('Nhap d: '); readln(d);
if (a=0) or (b=0) or (c=0) or (d=0) then write('Tich 4 so bang 0');
if a*b*c*d>0 then write('Tich 4 so do la so duong');
if a*b*c*d<0 then write('Tich 4 so do la so am');
readln
end.
CM
26 tháng 7 2019
Ta có:
4 A = ( x + y + z + t ) 2 ( x + y + z ) ( x + y ) x y z t ≥ 4 ( x + y + z ) t ( x + y + z ) ( x + y ) x y z t = 4 ( x + y + z ) 2 ( x + y ) x y z ≥ 4.4 ( x + y ) z ( x + y ) x y z = 16 ( x + y ) 2 x y ≥ 16.4 x y x y ≥ 64 ⇒ A ≥ 16
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x + y + z + t = 2 x + y + z = t x + y = z x = y ⇔ x = y = 1 4 z = 1 2 t = 1
N
23 tháng 4 2018
\(4A=\dfrac{\left(x+y+z+t\right)^2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\ge\dfrac{4\left(x+y+z\right).t\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(=\dfrac{4\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)t}{xyzt}\ge\dfrac{16\left(x+y\right)^2zt}{xyzt}\ge\dfrac{64xyzt}{xyzt}=64\)
\(\Rightarrow A\ge16\)
Dấu = xảy ra tại \(x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2};t=1\)
3 tháng 2
a) BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge xya^2+2abxy+xyb^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
b) Ta có \(VT=\dfrac{a^2}{4b^2a+a}+\dfrac{b^2}{4a^2b+b}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+a+b}\) (vì \(4ab=a+b\))
\(=\dfrac{a+b}{a+b+1}\)
Đặt \(t=a+b\left(t>0\right)\) thì suy ra \(VT\ge\dfrac{t}{t+1}\)
Do \(4ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
Nên \(a+b\ge1\) \(\Rightarrow t\ge1\)
Ta cần tìm GTNN của \(T=\dfrac{t}{t+1}\) với \(t\ge1\)
\(T=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{t}}\)
Ta có \(t\ge1\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}\le1\Leftrightarrow1+\dfrac{1}{t}\le2\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{t}}\ge\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(T\ge\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{4b^2a+a}=\dfrac{b}{4a^2b+b}\) và \(t=1\)
\(\Leftrightarrow4a^3b+ab=4b^3a+ab\) và \(a+b=1\)
\(\Leftrightarrow a=b\) và \(a+b=1\)
\(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
NH
0
12 tháng 12 2018
\(b=\frac{a+c}{2}\Rightarrow2b=a+c\)
\(c=\frac{2bd}{b+d}\Rightarrow c\left(b+d\right)=2bd\)
\(\Rightarrow c\left(b+d\right)=\left(a+c\right)d\Rightarrow cb+cd=ad+cd\Rightarrow ad=bc\)
Vậy 4 số a,b,c,d lập thành 1 tỉ lệ thức.
Đặt \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b}\)
\(P=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{ac+cd}+\dfrac{d^2}{ad+bd}\)
\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+2ac+bc+2bd+cd+ad}=\dfrac{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}\)
\(P\ge\dfrac{4ac+4bd+2ab+2bc+2cd+2ad}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
Cám ơn thầy Lâm nhiều lắm ạ!