K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 10 2017

Đặt A =\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{2008}{3^{2008}}\)

Suy ra 3A = \(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{2008}{3^{2007}}\)=> 2A = 3A - A = \(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{2008}{3^{2007}}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}-\frac{3}{3^3}-...-\frac{2008}{3^{3008}}\)\(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2007}}-\frac{2008}{3^{2008}}\)

\(\frac{3}{2}-\frac{1}{2.3^{2007}}\)Suy ra A = \(\frac{3}{4}-\frac{1}{8.3^{2007}}\)<\(\frac{3}{4}\)(ĐPCM)

9 tháng 11 2017

Ta có:

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{\left(n+1\right)^2}}\right)\)

\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(< \left(1+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2009\sqrt{2008}}\)

\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2008}}-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)

\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)< 2\)

12 tháng 8 2020

Ap dung \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Ta co \(P< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2008}}\right)\)  

=> \(P< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2008}}\right)< 2.1=2\)

Suy ra P khong phai so nguyen to

5 tháng 11 2015

Vào đây nhé: Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 8 2020

Lời giải:

Xét số hạng tổng quát $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$
Ta có:

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{2}{2(n+1)\sqrt{n}}=\frac{2}{(n+1)\sqrt{n}+(n+1)\sqrt{n}}$
$< \frac{2}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}$

Do đó:

$P< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+....+\frac{2}{\sqrt{2007}}-\frac{2}{\sqrt{2008}}=2-\frac{2}{\sqrt{2008}}< 2$

Do đó $P$ không thể là số nguyên tố.