Tìm GTNN của A=\(\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9\sqrt{abc}\) biết a,b,c không âm và a+b+c=1.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
11 tháng 2 2016
\(3\sqrt[3]{abc}\le a+b+c\Rightarrow abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{1}{27}\) (BĐT AM-GM)
\(\sqrt{a^2+abc}=\sqrt{a\left(a+bc\right)}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{9}{4}a\left(a+bc\right)}\le\frac{2}{3}\left(\frac{\frac{9}{4}a+a+bc}{2}\right)\) (BĐT AM-GM)
Tương tự: \(\Rightarrow\)\(A\le\frac{1}{3}\left(\frac{9}{4}\left(a+b+c\right)+a+b+c+ab+bc+ca\right)+9\sqrt{\frac{1}{27}}\)
mà \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
=>giải được
KN
18 tháng 4 2020
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô - si, ta có: \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{bc}\le\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+c}{2}=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\left(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{bc}\right)\le\sqrt{a}\)hay \(\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{a}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{b}\);\(\sqrt{c^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{c}\)
Mà \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\Rightarrow\sqrt{abc}\le\frac{1}{3\sqrt{3}}\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le3\left(a+b+c\right)=3\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
VH
14 tháng 1 2020
Từ giả thiết ta có: \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(P=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.a\left(a+bc\right)}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.b\left(b+ca\right)}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.c\left(c+ab\right)}+9\sqrt{abc}\)\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{\frac{7}{3}a+bc+\frac{7}{3}b+ca+\frac{7}{3}c+ab}{2}\right)+9\sqrt{abc}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\left[\frac{\frac{7}{3}\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca}{2}\right]+9\sqrt{abc}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{7}{6}+\frac{ab+bc+ca}{2}\right)+9\sqrt{abc}\)
Áp dụng BĐT quen thuộc \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Khi đó: \(P\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{7}{6}+\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)+9\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow min_P=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
AV
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 5 2021
\(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)\Rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=3\\0\le x;y;z\le\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(P=x^2y+y^2z+z^2x-xyz\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)
\(\Rightarrow x^2y+y^2z\le xy^2+xyz\)
\(\Rightarrow P\le xy^2+z^2x+xyz-xyz=x\left(y^2+z^2\right)=x\left(3-x^2\right)\)
\(\Rightarrow P\le2-\left(x^3-3x+2\right)=2-\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)\le2\)
\(P_{max}=2\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hoặc \(\left(1;0;2\right)\) và một vài hoán vị
\(a,b,c\ge0\Rightarrow abc\ge0\Rightarrow\sqrt{a^2+abc}\ge\sqrt{a^2}=a\)
Tương tự:\(\sqrt{b^2+abc}\ge b,\sqrt{c^2+abc}\ge c\)
\(\Rightarrow A\ge a+b+c+0=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow abc=0,a+b+c=1\)(bạn tự giải tiếp)