Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô - si, ta có: \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{bc}\le\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+c}{2}=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\left(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{bc}\right)\le\sqrt{a}\)hay \(\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{a}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{b}\);\(\sqrt{c^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{c}\)
Mà \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\Rightarrow\sqrt{abc}\le\frac{1}{3\sqrt{3}}\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le3\left(a+b+c\right)=3\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(a,b,c\ge0\Rightarrow abc\ge0\Rightarrow\sqrt{a^2+abc}\ge\sqrt{a^2}=a\)
Tương tự:\(\sqrt{b^2+abc}\ge b,\sqrt{c^2+abc}\ge c\)
\(\Rightarrow A\ge a+b+c+0=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow abc=0,a+b+c=1\)(bạn tự giải tiếp)
Ta có \(\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}=\sqrt{bc+a^2bc}=\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Đặt BT đề cho là P
\(\Leftrightarrow P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(P^2\le3\left(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\right)\)
Áp dụng bđt cô si, ta có
\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
tương tự với mấy cái kia =>\(P^2\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+a}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
mà với abc =1, thì bạn sẽ chứng minh được \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)
phân thức thứ 1 để nguyê, phân thức thứ 2 nhân với ab, phân thức thứ 3 nhân với b, rồi chỗ napf có abc thì thay abc=1
thì bạn sẽ chứng minh được cái kia=1
=>\(P\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)
dâu = xảy ra <=>a=b=c=1
Dễ thấy theo AM - GM :
\(\frac{1}{\sqrt{a^2+2b^2+3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+b\right)+\left(b^2+1\right)+2}}\le\frac{1}{\sqrt{2ab+2b+2}}\)
\(\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{3}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{1}{\sqrt{b^2+2c^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{3}\right);\frac{1}{\sqrt{c^2+2a^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ca+a^2+1}+\frac{1}{3}\right)\)
Cộng lại ta sẽ có đpcm
Vì dễ thấy \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\) với abc=1
\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=a\sqrt{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{c+a}}\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}\)
Tương tự 2 cái còn lại cộng lại ta đc \(VT\le\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Cach khac
Dat \(P=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
Ta co:
\(a+b+c=abc\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\)
Ta lai co:
\(\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{xy+yz+zx+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}\right)\)
Tuong tu:
\(\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)
\(\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Vay \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
\(3\sqrt[3]{abc}\le a+b+c\Rightarrow abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{1}{27}\) (BĐT AM-GM)
\(\sqrt{a^2+abc}=\sqrt{a\left(a+bc\right)}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{9}{4}a\left(a+bc\right)}\le\frac{2}{3}\left(\frac{\frac{9}{4}a+a+bc}{2}\right)\) (BĐT AM-GM)
Tương tự: \(\Rightarrow\)\(A\le\frac{1}{3}\left(\frac{9}{4}\left(a+b+c\right)+a+b+c+ab+bc+ca\right)+9\sqrt{\frac{1}{27}}\)
mà \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
=>giải được
moi hok lop @ minh . com