cho a, b, c đôi một khác nhau. CMR:
\(\dfrac{a^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1
Trước hết ta có:
\(\dfrac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{ac}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)+b^2c-a^2c+ac^2-bc^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)
Do đó:
\(\left(\dfrac{a}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a-b}\right)^2-2+2\)
\(=\left(\dfrac{a}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a-b}\right)^2+2\left(\dfrac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{ac}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right)+2\)
\(=\left(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)^2+2\ge2\) (đpcm)
C
16 tháng 1 2023
`VT = (b-c)/((a-b)(a-c)) + (c-a)/((b-c)(b-a)) +(a-b)/((c-a)(c-b)) = 2/(a-b) + 2/(b-c) + 2/(c-a)`
`=-((a-b-a+c)/((a-b)(a-c))+(b-c-b+a)/((b-c)(b-a))+(c-a-c+b)/((c-a)(c-b)))`
`=-((a-b)/((a-b)(a-c))-(a-c)/((a-b)(a-c))+(b-c)/((b-c)(b-a))-(b-a)/((b-c)(b-a))+(c-a)/((c-a)(c-b))-(c-b)/((c-a)(c-b)))`
`= 1/(c-a)+1/(a-b)+1/(a-b)+1/(b-c)+1/(b-c)+1/(c-a)`
`=2/(a-b)+2/(b-c)+2/(c-a)=VP(đpcm)`
26 tháng 7 2018
T đề nghị ban EDOGAWA CONAN không dùng nick k\này hỏi rồi lấy nick chính trả lời và tự tick nữa. T biết hai cậu là 1 mà không muốn nói thôi.
P/s:Nếu thế nữa t sẽ báo phynit.
26 tháng 7 2018
Đặt : \(x=\dfrac{a+b}{a-b}\) ; \(y=\dfrac{b+c}{b-c}\) ; \(z=\dfrac{c+a}{c-a}\)
Ta có : \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=-1\)
Mà \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}\ge2\left(đpcm\right)\)
12 tháng 1 2021
Bài này trong đề nào đó mới đây:
Đặt \(\dfrac{a+b}{a-b}=x;\dfrac{b+c}{b-c}=y;\dfrac{c+a}{c-a}=z\).
Ta có: \(2P=\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2+\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2+\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}=3+x^2+y^2+z^2=3+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\),
Mặt khác dễ dàng chứng minh được: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\Leftrightarrow xy+yz+zx=-1\).
Từ đó \(2P=\left(x+y+z\right)^2+5\ge5\Leftrightarrow P\ge\dfrac{5}{2}\).
Bài này là bất đẳng thức nên mình không tìm điểm rơi.
9 tháng 11 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\cdot0}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\left(đpcm\right)\)
BĐT đã cho tương đương với:
\(\left(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)^2-2\left[\dfrac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\right]\ge2\left(\cdot\right)\).
Mặt khác ta có: \(\dfrac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}=\dfrac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\).
Do đó \(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
BĐT đã cho dc c/m.