Tìm GTNN của biểu thức :
y = \(\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\) , x > 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SO
3
15 tháng 7 2020
@AZM: Thật không may dấu "=" không xảy ra bạn nhé :))
Ta có:\(S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)
Đặt \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}=2\)
Khi đó:\(S=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y
15 tháng 7 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}.\frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)}}=2.1=2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)
Vậy GTNN biểu thức là 2 khi \(x=y\)
Học tốt!!!!
21 tháng 7 2020
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
21 tháng 7 2020
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
T
8 tháng 5 2019
Anh xét hiệu P - 3/2 rồi làm như cách của em: Câu hỏi của Namek kian - Toán lớp 9 ạ ! Từ đó suy ra P >= 3/2. Hoặc có thể làm thẳng luôn như 4 bạn kia.
8 tháng 5 2019
\(P=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)-3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}-3=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z\)
:))
L
2 tháng 3 2017
đây là cách lớp 9 nên cố hiểu nhá , ngoài ra có thể tham khảo ở sách nâng cao và phát triển toán 8 trang 43
áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
với a=y+z, b=z+x, c=x+y ta đc
\(2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+x}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge1,5\)
vậy minA=1,5 khi y+z=x+z=x+y khi x=y=z
2 tháng 3 2017
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)( 1 )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\ge1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{2}\)
Từ ( 1 )
\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(P=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)
7 tháng 12 2017
Ta có: P = \(P=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right).\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\) (HĐT số 3)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{-x.-y}{xy}\)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y)
= 1 + 1/(xy) + (1/x + 1/y) = 1 + 1/(xy) + (x + y)/xy
= 1 + 1/(xy) + 1/(xy) = 1 + 2/(xy)
Áp dụng bđt: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1+2}{\frac{1}{4}}=9\)
Vậy PMin = 9 xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\) \(\frac{1}{2}\)
7 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)(1)
Lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{1}=4\)(2)
Từ (1) và (2) => \(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy MinA = 18
I
1
22 tháng 9 2018
Ta có:
\(P=\frac{1}{x+y}+\frac{xy+x+y}{x}+\frac{xy+x+y}{y}=\frac{1}{x+y}+1+\frac{y}{x}+y+1+\frac{x}{y}+x\)
\(=\frac{1}{x+y}+\left(x+y\right)+2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2+2+2=6\)
DẤU BẰNG XẢY RA:\(\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2}-1\)
\(y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{18}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{18x}{2x}}=6\)
\(y_{min}=6\) khi \(x=6\)