Biết \(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\)= 1
Tìm GTNN của P biết P = x^2/(x+y) + y^2/(y+z) + z^2/(x+z)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(A\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(A_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
VN
1 tháng 3 2017
=0,5
Vì có gtnn khi xy=yz=zx=1:9 => x=y=z=1:3
Thay số và tính được gtnn là A=0.5
HH
26 tháng 10 2018
\(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{x+z}\ge\dfrac{x^2}{x+y+z}+\dfrac{y^2}{x+y+z}+\dfrac{z^2}{x+y+z}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{zx}+\sqrt{yz}\right)}{x+y+z}\ge\dfrac{1-2.1}{1}=-1\)Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) , \(x+z\ge2\sqrt{xz}\) , \(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
Cộng vế với vế suy ra:
\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{zx}+\sqrt{yz}\right)\\ \Leftrightarrow x+y+z\ge1\)
Vậy
HH
28 tháng 10 2018
Trà ơi ! Mình xin lỗi bạn nhiều lắm bài đó mình lỡ giải sai, để mình sữa lại cho bạn:
Đầu tiên ta vẫn có:\(x+y+z\ge1\) (chứng minh trên)
Vậy \(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\ge\dfrac{x^2}{x+y+z}+\dfrac{y^2}{x+y+z}+\dfrac{z^2}{x+y+z}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge x^2+y^2+z^2\ge0\)
27 tháng 8 2016
2/ Ta có
\(\frac{x+y}{4}+\frac{x^2}{x+y}\)\(\ge\)x
\(\frac{y+z}{4}+\frac{y^2}{y+z}\ge y\)
\(\frac{z+x}{4}+\frac{z^2}{z+x}\ge z\)
Từ đó ta có VT \(\ge\)\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\)= \(\frac{1}{2}\)
Đạt được khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
1 tháng 5 2019
\(A=\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\)
\(2A=\frac{z+2\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{x+2\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y+2\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}-\frac{y}{y+2\sqrt{zx}}\)
\(=3-\left(\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\right)\le3-\left(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\right)\)
\(=3-\frac{x+y+z}{x+y+z}=3-1=2\)\(\Leftrightarrow\)\(A\le\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
\(D\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{x}{1+yz}\right)+\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{y}{1+zx}\right)+\dfrac{z}{2+2xy}\)
\(=1+\dfrac{x}{2\left(1+yz\right)}+\dfrac{y}{2\left(1+zx\right)}+\dfrac{z}{2\left(1+xy\right)}\)
Do \(0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge0\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+1\right)\ge xy+1+x+y\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{z}{2\left(1+xy\right)}\le\dfrac{z}{x+y+z}\)
Tương tự: \(\dfrac{x}{2\left(1+yz\right)}\le\dfrac{x}{x+y+z}\) ; \(\dfrac{y}{2\left(1+zx\right)}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)
Cộng vế:
\(P\le1+\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 1
\(\sqrt{x^2+2024}=\sqrt{x^2+xy+yz+zx}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y^2+2024}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}\)
\(\sqrt{z^2+2024}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2024}{3}\)
lớp 6 học căn rồi á
bạn học kinh nhỉ