cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác Chứng minh
\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LL
3 tháng 3 2019
Nếu Đặt p là nửa chu vi => p = (a + b + c)/2 => 2p = a + b + c
=> p - a = (a + b + c)/2 - a
=> p - a = (b + c + a - 2a)/2
=> p - a = (b + c - a)/2
=> 2(p - a) = b + c - a (1)
Tương tự ta chứng minh được:
2(p - b) = a + c - b (2)
2(p - c) = a + b - c (3)
Từ (1); (2) và (3) => 1/(a + b - c) + 1/(b +c - a) +1/(c +a - b)
= 1/[ 2(p - c) ] + 1/[ 2(p - a) ] + 1/[ 2(p - b) ]
=1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ]
Bây giờ ta đã đưa bài toán về chứng minh
1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Ta có: (x - y)² ≥ 0
<=> x² - 2xy + y² ≥ 0
<=> x² - 2xy + y² + 4xy ≥ 4xy
<=> x² + 2xy + y² ≥ 4xy
<=> (x + y)² ≥ 4xy
=> với x + y ≠ 0 và xy ≠ 0
=> (x + y)²/(x+ y) ≥ 4xy/(x + y)
=> (x + y) ≥ 4xy/(x + y)
=> (x + y)/xy ≥ (4xy)/[xy(x + y)]
=> 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) (*)
Áp dụng (*) với x = p - a và y = p - b ta được:
1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(p - a + p - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(2p - a - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(a + b + c - a - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/c (4)
Chứng minh tương tự ta được:
1/(p - a) + 1/(p - c) ≥ 4/b (5)
1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/a (6)
Cộng vế với vế của (4);(5) và (6) ta được:
1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - a) + 1/(p - c) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/c + 4/b + 4/a
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4/c + 4/b + 4/a
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4(1/a + 1/b + 1/c)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c)
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/2.( 2(1/a + 1/b + 1/c) )
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c.
Sai thì thôi nha !!! k mk nha
G
15 tháng 5 2017
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\) (do a > 0)
Tương tự: \(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Từ 3 bất đẳng thức trên suy ra:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
Ta sẽ chứng minh:
\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Thât vậy, do a, b, c là các cạnh của tam giác nên bất đẳng thức trên tương đương với
\(a\left(a+b+c\right)< 2a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac< 2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b-c\right)< 0\)
Bất đẳng thức này đúng vì a>0 và a < b + c (vì trong tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba).
Vậy ta có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự, \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên suy ra:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Vậy bài toán đã được chứng minh.
15 tháng 5 2017
Mình chỉ chứng minh được bé hơn 2 thôi nhe
Theo bất đẳng thức tam giác thì b+c>a => \(\frac{a}{b+c}< \frac{a}{a}\left(=1\right)\)
Tương tự ta cũng có
\(\frac{b}{a+c}< 1\)
\(\frac{c}{a+b}< 1\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 3\)
BB
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2019
Lời giải:
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $a+b-c,a+c-b, b+c-a>0$
Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) ta có:
\((a+b-c)(a+c-b)\leq \left(\frac{a+b-c+a+c-b}{2}\right)^2=a^2\)
\((a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)
\((b+c-a)(a+c-b)\leq \left(\frac{b+c-a+a+c-b}{2}\right)^2=c^2\)
Nhân theo vế các BĐT trên:
\([(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]^2\leq (abc)^2\)
\(\Rightarrow (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.
25 tháng 5 2018
Ta có (a-b)²≥0 nên a²+b²≥2ab, tương tự b²+c²≥2bc, c²+a²≥2ca, cộng vế với vế rồi chia 2 2 vế ta có a²+b²+c²≥ab+bc+ca
a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b>c → c(a+b)>c², tương tự b(a+c)>b², a(b+c)>a², cộng vế với vế ta có 2(ab+bc+ca)>a²+b²+c²
25 tháng 5 2018
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm a^2 + b^2 + c^2 là ra nha bạn
21 tháng 1 2017
Bài 1:
a)+ Vì AB = ACNÊN
==>Tam giác ABC cân tại A
==>góc ABI = góc ACI
+ Xét tam giác ABI và tam giác ACI có:
AI là cạch chung
AB = AC(gt)
BI = IC ( I là trung điểm của BC)
Vậy tam giác ABI = tam giác ACI (c.c.c)
==> góc BAI = góc CAI ( 2 góc tương ứng )
==>AI là tia phân giác của góc BAC
b)
Xét tam giác BAM và tam giác BAN có:
AB = AC (gt)
góc B = góc C (cmt)
BM = CN ( gt )
Vậy tam giác BAM = tam giác CAN (c.g.c)
==> AM = AN (2 cạnh tương ứng)
c)
vì tam giác BAI = tam giác CAI (cmt)
==>góc AIB = góc AIC (2 góc tương ứng)
Mà góc AIB+ góc AIC = 180độ ( kề bù)
nên AIB=AIC=180:2=90
==>AI vuông góc với BC
24 tháng 4 2017
Bài 3
a) Xét tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACE vuông tại E có
AB=AC( vì tam giác ABC cân tại A)
Góc A chung
=> Tam giác ABD= tam giác ACE ( cạnh huyền- góc nhọn)
b) Có tam giác ABD= tam giác ACE( theo câu a)
=> AE=AD ( 2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác AED cân tại A
c) Xét các tam giác vuông AEH và ADH có
Cạnh huyền AH chung
AE=AD
=> Tam giác AEH=tam giác ADH ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=>HE=HD
Ta có AE=AD và HE=HD hay AH là đường trung trực của ED
d) Ta có AB=AC, AE=AD
=>AB-AE=AC-AD
=>EB=DC
Xét tam giác EBC vuông tại E và tam giác DCK vuông tại D có
BD=DK
EB=Dc
=> tam giác EBC= tam giác DCK ( 2 cạnh góc vuông)
=> Góc ECB= góc DEC ( 2 góc tương ứng)
24 tháng 4 2017
Bài 1:
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
AB=AC(tam giác ABC cân tại A)
BM=MC(gt)
AM cạnh chung
Suy ra tam giác ABM= tam giác ACM (c-c-c)
b) Xét hai tam giác vuông MBH và MCK có:
BM=MC(gt)
góc ABC=góc ACB (tam giác ABC cân tại A)
Suy ra tam giác MBH= tam giác MCK (ch-gn)
Suy ra BH=CK
c) MK vuông góc AC (gt)
BP vuông góc AC (gt)
Suy ra MK sông song BD
Suy ra góc B1= góc M2 (đồng vị)
Mà M1=M2(Tam giác HBM= tam giác KCM)
Suy ra góc B1= góc M1
Suy ra tam giác IBM cân
xong bài 1 đẻ bài 2 mình nghĩ tiếp
