Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì C M A = D M B = 60 o ⇒ C M B = D M A = 120 o . Xét ∆ CMB và ∆ AMD có
C M = A M C M B = D M A ⇒ Δ C M B = Δ A M D ( c . g . c ) M B = M D ⇒ M C B = M A D M B C = M D A
Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp
b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên
C P M = 180 o − C A M = 120 o = C M B ⇒ Δ C P M ~ Δ C M B ( g . g ) ⇒ C P C M = C M C B ⇒ C P . C B = C M 2 ⇒ C P . C B = C M .
Tương tự D P . D A = D M
Vậy C P . C B + D P . D A = C M + D M = A M + B M = A B
| GT | M nằm giữa A, B. △AMD đều; △MBC đều AD ∩ BC = { E } |
KL | a, △ABE đều b, △AMC = △DMB |
Bài giải:
1, Vì △AMD đều => AMD = DAM = MDA = 60o và AM = MD = AD
Vì △MBC đều => MBC = BMC = BCM = 60o và MC = MB = BC
Xét △ABE có: ABE + AEB + EAB = 180o (tổng 3 góc trong tam giác)
=> 60o + 60o + AEB = 180o
=> AEB = 60o
Xét △ABE có: ABE = AEB = EAB = 60o => △ABE đều
2, Ta có: DMB = DMC + CMB
CMA = DMC + DMA
Mà CMB = DMA = 60o
=> DMB = CMA
Xét △AMC và △DMB
Có: AM = DM (cmt)
CMA = DMB (cmt)
MC = MB (cmt)
=> △AMC = △DMB (c.g.c)
Trên đoạn AC lấy H sao cho H là trung điểm của đoạn.
Lại có: E là trung điểm của AD nên EH là đường trung bình của tam giác ACD
Do đó CD = 2EH (1)
Gọi I là trung điểm của AM, K là trung điểm của AB
Ta có: EK là đường trung bình của tam giác ADB nên EK //DB
Suy ra góc EKI = 600. Hoàn toàn tương tự: góc FKB = 600
Do đó góc EKF = 600
Tương tự ta có góc HIE = 600
Xét hai tam giác HIE và FKE có:
HI = FK (cùng bằng 1 nửa AC)
góc HIE = góc EKE (=600)
EI = EK (cùng bằng 1 nửa DM)
Suy ra tam giác HIE = tam giác FKE (c.g.c)
Suy ra EF = EH (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF = 1/2CD (đpcm)
Cách 1: *cách của Assassin_07*
Cách 2: Ta tạo ra đoạn thẳng bằng nửa CD, đó là PQ (P là trung điểm MC, Q là trung điểm MD). Để chứng minh EF=PQ, ta lấy K là trung điểm AB rồi chứng minh ∆EKF=∆QMP (c.g.c)
Không vẽ hình vì sợ duyệt nhé.
Tứ giác ADNM nội tiếp nên \(\widehat{ADM}=\widehat{ANM}\)
Tứ giác AMCD là hình vuông nên \(\widehat{ADM}=45^0\)
Từ đó \(\widehat{ANM}=45^0\)
Tứ giác BENM nội tiếp nên \(\widehat{ENM}+\widehat{EBN}=180^0\)\(\Rightarrow\widehat{ENM}=180^0-\widehat{EBM}\)
Tứ giác BMEF là hình vuông nên \(\widehat{EBM}=45^0\)
Từ đó \(\widehat{ENM}=180^0-45^0=135^0\)
Ta có \(\widehat{ANE}=\widehat{ANM}+\widehat{ENM}=45^0+135^0=180^0\)
Từ đó ta có A, N, E thẳng hàng.
c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E
Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều
⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM
Ta có CM // DB nên PCM = PBD
Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD
Ta lại có CPM = DPM = 120o ⇒ Δ C P M ~ Δ M P D ( g . g ) ⇒ C P M P = P M P D ⇒ C P P F = P E P D
Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang.