Question

[Thịnh Ngọc]

Cho hình  chóp S.abc có  tam giác ABC đều  cạnh 2a ,SA vuông góc với đáy  ,SA =a căn  3 .M và  N lần  lượt là trung điểm của  SB, SC. Tính  V. Samn

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Gọi D là trung điểm BC. Nối SD cắt MN tại H

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AB;SA\perp AC;SA\perp AD\)

Xét tg vuông SAB và tg vuông SAC có

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\sqrt{3a^2+4a^2}=a\sqrt{7}\)

\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{3a^2+4a^2}=a\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow SB=SC=a\sqrt{7};SA\) chung \(\Rightarrow\Delta SBC\) cân tại S

\(AM=\frac{SB}{2};AN=\frac{SC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(SB=SC\Rightarrow AM=AN\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A

Xét \(\Delta SBC\) có

MN là đường trung bình => MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}=a\)

SD là trung tuyến => SD cũng là đường cao của \(\Delta SBC\Rightarrow SD\perp BC\)

\(\Rightarrow SD\perp MN\) tại H (1)

Xét \(\Delta SMN\) có \(SM=\frac{SB}{2};SN=\frac{SC}{2}\) Mà \(SB=SC=a\sqrt{7}\Rightarrow SM=SN\Rightarrow\Delta SMN\) cân tại S

Mà \(SH\in SD\perp MN\Rightarrow HM=HN\) (trong tg cân đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Xét \(\Delta AMN\) có \(HM=HN\Rightarrow AH\perp MN\) (trong tg cân trung tuyến đồng thời là đường cao)

Nối AD có D là trung điểm BC => \(\Rightarrow AD\perp BC\) (trong tg cân trung tuyến đồng thời là đường cao) 

Xét tg vuông ADB có

\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}=SA\Rightarrow\Delta SAD\) cân tại A

Áp dụng talet trong tg ta sẽ c/m được H là trung điểm của SD

Xét tg vuông cân SAD có

\(HS=HD\Rightarrow AH\perp SD\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow SD\perp\left(AMN\right);SH\in SD\Rightarrow SH\perp\left(AMN\right)\) 

Xét tg vuông SBD có

\(SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=\sqrt{7a^2-a^2}=a\sqrt{6}\) 

\(SH=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Xét tg vuông SAD có

\(AH=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nẳ cạnh huyền)

\(\Rightarrow S_{\Delta AMN}=\frac{MN.AH}{2}=\frac{a.a\sqrt{6}}{2.2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{4}\)

\(\Rightarrow V_{SAMN}=\frac{1}{3}.S_{\Delta AMN}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{6}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3}{4}\)

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Cách khác:

Vì ABC đều => Diện tích ABC = \(\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2=\sqrt{3}a^2\)

S. ABC có đường cao SA; đáy ABC

=> V (S.ABC) = \(\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\sqrt{3}a^2=a^3\)

Vì M thuộc SB; N thuộc SC 

=> \(\frac{V\left(S.AMN\right)}{V\left(S.ABC\right)}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

=> \(V\left(S.AMN\right)=\frac{a^3}{4}\)