Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương pháp:
Tính thể tích V S . A B C
Tính thể tích V S . A M N theo công thức tỉ lệ thể tích
Tính thể tích V A . B C M N và suy ra kết luận
Cách giải:
Xét tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại A có hai cạnh góc vuông là a và 2a nên
Tam giác SAB vuông tại có đường cao AM
Khi đó 
Tương tự 
Lại có 
Mặt khác 
Do đó 
Chọn C.
Chọn D
Thể tích khối chóp S. ABC là:
Do SA=AB=AC=a nên các tam giác SAC, SAB cân tại A.
Theo đề bài M, N là hình chiếu của A trên SB, SC nên M, N lần lượt là trung điểm SB, SC.
Khi đó:
Vậy thể tích khối chóp A. BCNM là:
Chọn B
Ta có B C ⊥ S M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM. Do
và FE đi qua H.
Vậy H là trung điểm cạnh SM. Suy ra tam giác SAM vuông cân tại A
⇒ S A = a 3 2 V S A B C = 1 3 . a 3 2 . a 2 3 4 = a 3 8
Gọi D là trung điểm BC. Nối SD cắt MN tại H
\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AB;SA\perp AC;SA\perp AD\)
Xét tg vuông SAB và tg vuông SAC có
\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\sqrt{3a^2+4a^2}=a\sqrt{7}\)
\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{3a^2+4a^2}=a\sqrt{7}\)
\(\Rightarrow SB=SC=a\sqrt{7};SA\) chung \(\Rightarrow\Delta SBC\) cân tại S
\(AM=\frac{SB}{2};AN=\frac{SC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)
Mà \(SB=SC\Rightarrow AM=AN\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A
Xét \(\Delta SBC\) có
MN là đường trung bình => MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}=a\)
SD là trung tuyến => SD cũng là đường cao của \(\Delta SBC\Rightarrow SD\perp BC\)
\(\Rightarrow SD\perp MN\) tại H (1)
Xét \(\Delta SMN\) có \(SM=\frac{SB}{2};SN=\frac{SC}{2}\) Mà \(SB=SC=a\sqrt{7}\Rightarrow SM=SN\Rightarrow\Delta SMN\) cân tại S
Mà \(SH\in SD\perp MN\Rightarrow HM=HN\) (trong tg cân đường cao đồng thời là đường trung tuyến)
Xét \(\Delta AMN\) có \(HM=HN\Rightarrow AH\perp MN\) (trong tg cân trung tuyến đồng thời là đường cao)
Nối AD có D là trung điểm BC => \(\Rightarrow AD\perp BC\) (trong tg cân trung tuyến đồng thời là đường cao)
Xét tg vuông ADB có
\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}=SA\Rightarrow\Delta SAD\) cân tại A
Áp dụng talet trong tg ta sẽ c/m được H là trung điểm của SD
Xét tg vuông cân SAD có
\(HS=HD\Rightarrow AH\perp SD\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow SD\perp\left(AMN\right);SH\in SD\Rightarrow SH\perp\left(AMN\right)\)
Xét tg vuông SBD có
\(SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=\sqrt{7a^2-a^2}=a\sqrt{6}\)
\(SH=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Xét tg vuông SAD có
\(AH=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nẳ cạnh huyền)
\(\Rightarrow S_{\Delta AMN}=\frac{MN.AH}{2}=\frac{a.a\sqrt{6}}{2.2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{4}\)
\(\Rightarrow V_{SAMN}=\frac{1}{3}.S_{\Delta AMN}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{6}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3}{4}\)
Cách khác:
Vì ABC đều => Diện tích ABC = \(\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2=\sqrt{3}a^2\)
S. ABC có đường cao SA; đáy ABC
=> V (S.ABC) = \(\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\sqrt{3}a^2=a^3\)
Vì M thuộc SB; N thuộc SC
=> \(\frac{V\left(S.AMN\right)}{V\left(S.ABC\right)}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
=> \(V\left(S.AMN\right)=\frac{a^3}{4}\)