Question

[Lê Xuân Lâm]

Cho \(A=\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\) và \(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{1-x}\right):\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-1\right)\) với điều kiện \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\\\x\ne1\end{cases}}\)

1,Tính giá trị của \(A\)với\(x=16\)

2,Rút gọn\(P\)

3,Tính giá trị nhỏ nhất của\(M=\frac{P}{A}\)

Answer 1

[Nguyễn Minh Đăng]

1) Tại x = 16 thì:

\(A=\frac{2\sqrt{16}+1}{16+\sqrt{16}+1}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\)

2) Ta có:

\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{1-x}\right)\div\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-1\right)\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\div\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\)

\(P=\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

3) Ta có: \(M=\frac{P}{A}=\frac{\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}}{\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}}=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=\frac{x}{\sqrt{x}+1}+1\ge1\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=0\)

Vậy Min(M) = 1 khi x = 0