Chứng minh rằng với \(\forall m\le1\) thì \(x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge0\) với \(\forall x\in[1;+\infty)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 4 2019
Hệ điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left(m-1\right)^2-\left(3m+6\right)\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\-2m^2-11m-5\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m\le-5\\m\ge-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge-\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2020
Lời giải:
Để $x^2-2(m-1)x+3m-5\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì:
$\Delta'\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow (m-1)^2-(3m-5)\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m^2-5m+6\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow (m-2)(m-3)\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 2\leq m\leq 3$
NB
0
NH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2020
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi:
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\left(-2m^2+3m-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow m^2+m+1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\le0\)
Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 4 2020
\(a=1>0\) ; \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-2\right)=\left(m-2\right)\left(m-3\right)\)
a/ Để \(f\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow x_1\le0< 1\le x_2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\le0\\1-\left(m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn
Do đó các câu c, f cũng không tồn tại m thỏa mãn
b/ TH1: \(\Delta< 0\Rightarrow2< m< 3\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\frac{b}{2a}\notin\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\end{matrix}\right.\)
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0\le x_1< x_2\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Delta>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 2\end{matrix}\right.\)
\(0\le x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ge0\\m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\) \(\Rightarrow m>3\)
\(x_1< x_2\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-m\ge0\\m-2< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m
Kết hợp 3 TH \(\Rightarrow m\ge2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 4 2020
d/ Tương tự như câu b, nhưng
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\frac{b}{2a}\in\left[0;1\right]\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0< x_1< x_2\\x_1< x_2< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m>3\)
Kết hợp 3 TH \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2< m< 3\\m>3\end{matrix}\right.\)
e/
TH1: \(\Delta\le0\Rightarrow2\le m\le3\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0\le x_1< x_2\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>3\)
\(\Rightarrow m\ge2\)
Ta có: \(x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow f\left(m\right)=\left(-6x+1\right)m+x^2+2x+3\ge0\)
Ta thấy \(f\left(m\right)\) là hàm số bậc nhất mà \(x\in[1;+\infty)\Rightarrow-6x+1< 0\)
\(\Rightarrow\) Hàm \(f\left(m\right)\) nghịch biến
Từ giả thiết \(m\le1\Rightarrow f\left(m\right)\ge f\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge\left(x-2\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)