K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
21 tháng 8 2020

Dấu "=" đâu xảy ra tại đó bạn?

Chứng minh BĐT này đồng thời tìm dấu "=":

- Với \(\left|a\right|< \left|b\right|\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT< 0\\VP>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow VP>VT\) BĐT hiển nhiên đúng

- Với \(\left|a\right|\ge\left|b\right|\) hai vế ko âm, bình phương 2 vế ta được:

\(a^2+b^2-2\left|ab\right|\le a^2+b^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}ab\ge0\\\left|a\right|\ge\left|b\right|\end{matrix}\right.\)

25 tháng 7 2017

giả sử tam giác ABC \(\overrightarrow{BC}\)=\(\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{AC}\)= \(\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{AB}\)=\(\overrightarrow{c}\)

theo đề ta có

BC-AC< AB < BC+AC

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 5 2023

Dấu >= hay <= vậy bạn? Bạn xem lại đề.

26 tháng 5 2023

>= ạ

NV
24 tháng 5 2021

Bài này có bạn giải rồi:

Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :\(\dfrac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(2b-c\right)}{... - Hoc24

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 6 2021

Lời giải:

BĐT cần CM tương đương với:

\(\left[\frac{(a+b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\right]^2\leq \frac{1}{4}\)

Đặt $a+b=x; ab=y$ thì BĐT \(\Leftrightarrow \left(\frac{x(1-y)}{y^2+x^2-2y+1}\right)^2=\left(\frac{x(y-1)}{x^2+(y-1)^2}\right)^2\leq \frac{1}{4}\)

Điều này luôn đúng vì theo BĐT AM-GM:

\([x^2+(y-1)^2]^2=x^4+(y-1)^4+2x^2(y-1)^2\geq 2x^2(y-1)^2+2x^2(y-1)^2=[2x(y-1)]^2\)

\(\Rightarrow \frac{[x(y-1)]^2}{[x^2+(y-1)^2]^2}\leq \frac{[x(y-1)]^2}{[2x(y-1)]^2}=\frac{1}{4}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2020

Lời giải khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+(b+c)^2=a^2+\frac{(b+c)^2}{4}+\frac{3(b+c)^2}{4}$

$\geq a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\leq \frac{4a}{4a+3b+3c}$

Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:

$\frac{4a}{4a+3b+3c}=\frac{4a}{a+\frac{a+b+c}{3}+...+\frac{a+b+c}{3}}\leq \frac{1}{100}.4a\left(\frac{1}{a}+\frac{3}{a+b+c}+...+\frac{3}{a+b+c}\right)$

$=\frac{1}{25}+\frac{27a}{25(a+b+c)}$

Tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{25}+\frac{27}{25}=\frac{6}{5}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

27 tháng 3 2020

Chứng minh tương đương

\(\left(3a+b\right)\left(2c+a+b\right)\le\left(2a+b+c\right)^2\)

<=> \(6ac+2bc+3a^2+ab+3ab+b^2\le4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac+2bc\)

<=> \(a^2+c^2-2ac\ge0\)

<=> \(\left(a-c\right)^2\ge0\)đúng với mọi a; b; c 

Vậy bdtban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a = c.

27 tháng 3 2020

Theo AM-GM có: 

\(\left(3a+b\right)\left(2c+a+b\right)\le\frac{\left(4a+2b+2c\right)^2}{4}=\left(2a+b+c\right)^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> 3a+b=2c+a+b 

                          <=> a=c

3 tháng 12 2017

Ta có: \(\left(\left|x\right|-\left|y\right|\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\left|xy\right|\)

\(\Rightarrow\left|\frac{2xy}{x^2+y^2}\right|\le1\)(*)

Lại có: \(\left(a+b\right)^2+\left(1-ab\right)^2=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)

Nên: \(\left|\frac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\right|=\left|\frac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(a+b\right)^2+\left(1-ab\right)^2}\right|\)

Áp dụng (*), ta có: \(\left|\frac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(a+b\right)^2+\left(1-ab\right)^2}\right|\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left|\frac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\right|\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{-1}{2}\le\frac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\le\frac{1}{2}\)  \(\left(đpcm\right)\)