Cho đa thức bậc 2 \(P\left(x\right)\)có hệ số tỉ lệ cao nhất là 1 và thoả mãn \(\left(x-5\right)P\left(x+4\right)=\left(x+3\right)P\left(x\right)\)với mọi x . Tìm đa thức \(P\left(x\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 9 2021
Đặt \(H\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x^2+2\right)\)
\(\Rightarrow H\left(1\right)=H\left(3\right)=H\left(5\right)=0\)
\(\Rightarrow H\left(x\right)\) có 3 nghiệm 1; 3; 5
\(\Rightarrow H\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=H\left(x\right)+x^2+2=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)+x^2+2\)
\(\Rightarrow P\left(-2\right)+7P\left(6\right)=-105\left(-2-a\right)+4+2+7\left[15\left(6-a\right)+36+2\right]=1112\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2022
Đặt \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-3x-2\)
\(\Rightarrow Q\left(1\right)=Q\left(2\right)=Q\left(4\right)=0\)
\(\Rightarrow Q\left(x\right)\) có 3 nghiệm \(x=\left\{1;2;4\right\}\)
Do \(P\left(x\right)\) bậc 4 và có hệ số cao nhất bằng 1 \(\Rightarrow Q\left(x\right)\) cũng là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất bằng 1
\(\Rightarrow Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-x_0\right)\) với \(x_0\in R\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=Q\left(x\right)+3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-x_0\right)+3x+2\)
\(\Rightarrow P\left(5\right)=12\left(5-x_0\right)+17\) ; \(P\left(-1\right)=-30\left(-1-x_0\right)-1\)
\(\Rightarrow S=60\left(5-x_0\right)+85-60\left(-1-x_0\right)-2=443\)
24 tháng 3 2022
Cám ơn thầy ạ, em xin phép gửi đến thầy đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 của thành phố Hà Nội vừa thi xong thầy ạ
PN
Phạm Ngọc Tấn
VIP
6 tháng 8 2023
1. Để tìm các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện P(2014) = 2046 và P(x) = P(x^2 + 1) - 33 + 32, ∀x ≥ 0, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Vì không có thông tin về bậc của đa thức, chúng ta sẽ giả sử nó là một hằng số n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho đa thức P(x). Với bậc n đã xác định, ta có: P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2014 vào biểu thức và giải phương trình: P(2014) = a_n * (2014)^n + a_{n-1} * (2014)^{n-1} + ... + a_0 = 2046 Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): P(x) = P(x^2+1)-33+32 Áp dụng công thức này lặp lại cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng. 2. Để tìm các đa thức P(x) ∈ Z[x] bậc n thỏa mãn điều kiện [P(2x)]^2 = 16P(x^2), ∀x ∈ R, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy tương tự như trên. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Giả sử bậc của P(x) là n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho P(x): P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2x vào biểu thức và giải phương trình: [P(2x)]^2 = (a_n * (2x)^n + a_{n-1} * (2x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): [P(4x)]^2 = (a_n * (4x)^n + a_{n-1} * (4x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Lặp lại quá trình này cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng.
24 tháng 6 2020
Bài làm:
+Xét \(x=-1\)
\(\Rightarrow\left(-1\right)^P\left(-1+1\right)=\left(1-4\right).\left(P-1\right)\)
\(\Rightarrow P\left(-1\right)=0\)
=> x = -1 là 1 nghiệm của đa thức P(x)
+Xét \(x=\pm2\)
\(\Rightarrow P\left(\pm2\right)=0\)
=> x = 2 và x = -2 là 2 nghiệm của đa thức P(x)
Từ 2 TH trên
=> Đa thức P(x) có ít nhất 3 nghiệm
=> đpcm
DK
24 tháng 6 2020
a)
x=3 <=> 3.f(5) =(9-9).f(3) =0.f(3) => f(5) =0
b)
x=0 <=> 0.f(2) =-9.f(0) => f(0) =0 => x= 0 là nghiệm
ý (a) x= 5 là nghiệm
x=-3 <=> -3.f(-1) =(9-9).f(-3) =0.f(-3) => f(-1) =0 => x= -1 là nghiệm
đủ 3 nghiệm x ={0;-1;5}
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
19 tháng 1 2021
Ta đi phản chứng, giả sử P(x) có thể phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên bậc lớn hơn 1.
đặt \(P\left(x\right)=Q\left(x\right).H\left(x\right)\)với bậc của Q(x) và H(x) lớn hơn 1
Ta Thấy \(Q\left(i\right).H\left(i\right)=P\left(i\right)=-1\)với i=1,2,...2020.
suy ra \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=1\\H\left(i\right)=-1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=-1\\H\left(i\right)=1\end{cases}}\) suy ra \(Q\left(i\right)+H\left(i\right)=0\)với i=1,2,...,2020
mà bậc của Q(x) và H(x) không vượt quá 2019 suy ra \(Q\left(x\right)+H\left(x\right)=0\Rightarrow Q\left(x\right)=-H\left(x\right)\Rightarrow P\left(x\right)=-\left(Q\left(x\right)\right)^2\)
xét hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(P\left(x\right)\) bằng 1
hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(-\left(Q\left(x\right)\right)^2\) bằng -1. Suy ra vô lý.
Vậy P(x) không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.
