Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
(p - a)(p - b)(p-c) < \(\frac{1}{8}abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VP
0
26 tháng 3 2020
Ta có:
a<b+ca<b+c
--> a+a<a+b+ca+a<a+b+c
--> 2a<22a<2
--> a<1a<1
Tương tự ta có : b<1,c<1b<1,c<1
Suy ra: (1−a)(1−b)(1−c)>0(1−a)(1−b)(1−c)>0
⇔ (1–b–a+ab)(1–c)>0(1–b–a+ab)(1–c)>0
⇔ 1–c–b+bc–a+ac+ab–abc>01–c–b+bc–a+ac+ab–abc>0
⇔ 1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc
Nên abc<−1+ab+bc+caabc<−1+ab+bc+ca
⇔ 2abc<−2+2ab+2bc+2ca2abc<−2+2ab+2bc+2ca
⇔ a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2ca
⇔ a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2
⇔ a2+b2+c2+2abc<22−2a2+b2+c2+2abc<22−2 , (do a+b=c=2a+b=c=2 )
⇔ dpcm
KN
28 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT Bu- nhi - a:
\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\)\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(p-a+p-b+p-c\right)}\)
\(=\sqrt{3\left(3p-2p\right)}=\sqrt{3p}\)(Vì p là nửa chu vi nên \(a+b+c=2p\))
\(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\frac{1}{8}abc\)
Do p là nửa chu vi của tam giác \(\Rightarrow p=\frac{a+b+c}{2}\)thay vào ta được :
\(VT=\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\)
\(=\left(\frac{b+c-a}{2}\right)\left(\frac{a+c-b}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\)
\(=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{8}\)
Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\\\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\\\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\le b^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left[\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le abc\)
\(\Rightarrow\frac{\Rightarrow\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{8}\le\frac{1}{8}abc\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(\)