Cho \(\frac{a+b}{b+c}\) = \(\frac{c+d}{d+a}\) ( Với c+d ≠ 0 , b+c ≠ 0 , d+a ≠ 0 )
Chứng minh a = c hoặc a + b + c + d = 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
16 tháng 7 2017
Ta có :
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}=\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2+b^2+2ab}{c^2+d^2+2cd}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2\left(1\right)\)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}-\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2+b^2-2ab}{c^2+d^2-2cd}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2\)
TH1 : \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{\left(a+b\right)+\left(a-b\right)}{\left(c+d\right)+\left(c-d\right)}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{b}\left(3\right)\)
\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c+d\right)-\left(c-d\right)}=\frac{2b}{2d}=\frac{b}{d}\left(4\right)\)
từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra : \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\text{ hay }\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
TH2 : \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{b-a}{c-d}=\frac{\left(a+b\right)+\left(b-a\right)}{\left(c+d\right)+\left(c-d\right)}=\frac{2b}{2c}=\frac{b}{c}\left(5\right)\)
\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{b-a}{c-d}=\frac{\left(a+b\right)-\left(b-a\right)}{\left(c+d\right)-\left(c-d\right)}=\frac{2a}{2d}=\frac{a}{d}\left(6\right)\)
Từ ( 5 ) và ( 6 ) suy ra : \(\frac{b}{c}=\frac{a}{d}\text{ hay }\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\)
Vậy : \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\text{ thì }\orbr{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\end{cases}}\)
kinh quá
VM
4 tháng 12 2019
Ta có: \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}+\frac{d+a}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{b+c+d+a}{d+a}\)
+ Nếu \(a+b+c+d\ne0\)
\(\Rightarrow c+d=d+a\)
\(\Rightarrow c=a\left(đpcm1\right).\)
+ Nếu \(a+b+c+d=0\)
\(\Rightarrow\) hợp với đề.
\(\Rightarrow a+b+c+d=0\left(đpcm2\right).\)
Chúc bạn học tốt!
23 tháng 11 2019
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ \Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\)
NQ
3
24 tháng 6 2021
\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\Rightarrow\left(a+b\right)\left(d+a\right)=\left(b+c\right)\left(c+d\right)\)
<=> ad + a2 + bd + ab = bc + bd + c2 + cd
<=> ad + a2 + bd + ab - bc - bd - c2 - cd = 0
<=> ad + a2 + ab - bc - c2 - cd = 0
<=> ( ad - cd ) + ( a2 - c2 ) + ( ab - bc ) = 0
<=> d( a - c ) + ( a - c )( a + c ) + b( a - c ) = 0
<=> ( a - c )( a + b + c + d ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a-c=0\\a+b+c+d=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\a+b+c+d=0\end{cases}\left(đpcm\right)}\)
24 tháng 6 2021
\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}\)
TH1: \(a+b+c+d=0\Rightarrowđpcm\)
TH2: \(a+b+c+d\ne0\Rightarrow\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}=1\)
\(\Rightarrow a+b=b+c\)
\(\Rightarrow a=c\left(đpcm\right)\)
L
1
TD
14 tháng 7 2016
\(\left(a+b\right)\left(d+a\right)=\left(c+d\right)\left(b+c\right)\)
\(ad+a^2+bd+ab=bc+bd+c^2+cd\)
\(a\left(b+d\right)+a^2=c\left(b+d\right)+c^2\)
\(a+a^2=c+c^2\)
\(a=c\)
7 tháng 3 2020
Ta có:\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\)
\(\implies\)\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}\)
\(\implies\) \(\frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1\)
\(\implies\) \(\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{a+b+c+d}{d+a}\)
\(\implies\) \(\frac{a+b+c+d}{c+d}-\frac{a+b+c+d}{d+a}=0\)
\(\implies\) \(\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{c+d}-\frac{1}{d+a}\right)=0\)
\(\implies\)\(\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\\frac{1}{c+d}-\frac{1}{d+a}=0\end{cases}}\)
\(\implies\) \(\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\\frac{1}{c+d}=\frac{1}{d+a}\end{cases}}\)
\(\implies\) \(\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\c+d=d+a\end{cases}}\)
\(\implies\) \(\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\c=a\end{cases}}\)
I
7 tháng 3 2020
ta có \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\)
=>\(\left(a+b\right)\left(a+d\right)=\left(c+d\right)\left(b+c\right)\)
=> \(a^2+ab+ad+bd=c^2+bc+bd+cd\)
=>\(a^2+ab+ad-bc-c^2-cd=0\)
=>\(\left(a^2-c^2\right)+\left(ab-cd\right)+\left(ab-ac\right)=0\)
=>\(\left(a-c\right)\left(a+c\right)+d\left(a-c\right)+b\left(a-c\right)=0\)
=>\(\left(a-c\right)\left(a+b+c+d\right)=0\)
=>\(\orbr{\begin{cases}a-c=0\\a+b+c+d=0\end{cases}\left(dpcm\right)}\)
hacker 2k6
8 tháng 9 2018
Ta có : \(b>0,d>0,\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow ad< bc\) ( 1 )
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(d+b\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Vì \(b>0,d>0,\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\) ( 2 )
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Ta có: \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}+\frac{d+a}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{b+c+d+a}{d+a}\)
Nếu \(a+b+c+d\ne0.\)
\(\Rightarrow c+d=d+a\)
\(\Rightarrow c=a\left(đpcm1\right).\)
Nếu \(a+b+c+d=0\) thì hợp với đề.
\(\Rightarrow a+b+c+d=0\left(đpcm2\right).\)
Chúc bạn học tốt!