Question

[Ánh Dương]

1.Giải phương trình, hệ phương trình: a) \(3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)=y\end{matrix}\right.\)

2. cho hàm số \(y=x^2\). tìm các giá trị của M để đường thẳng \(\Delta\) có phương trình y=x-m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt \(A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)\) thỏa mãn \(\left(x_2-x_1\right)^4+\left(y_2-y_1\right)^4=18\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ ĐKXĐ: ...

\(3\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=2x^2-3x+10\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{x^2-2x+4}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2a^2+b^2=2x^2-3x+10\)

Phương trình trở thành:

\(3ab=2a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2-3ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a-b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=\sqrt{x^2-2x+4}\\\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2-2x+4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=x^2-2x+4\\x+2=4x^2-8x+16\end{matrix}\right.\)

2/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1+y^2+xy-4y=0\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)=y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1+y\left(x+y-4\right)=0\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)=y\end{matrix}\right.\)

Nhận thấy \(y=0\) không phải nghiệm, hệ tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}+x+y-2=2\\\left(\frac{x^2+1}{y}\right)\left(x+y-2\right)=1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}=a\\x+y-2=b\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, a và b là nghiệm của: \(t^2-2t+1=0\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow a=b=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}=1\\x+y-2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=y\\x-3=-y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+x-2=0\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2-x+m=0\)

\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \frac{1}{4}\)

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_2-x_1\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=1-4m\Rightarrow\left(x_2-x_1\right)^4=\left(1-4m\right)^2\)

\(y_2-y_1=x_2-m-\left(x_1-m\right)=x_2-x_1\)

\(\Rightarrow\left(y_2-y_1\right)^4=\left(x_2-x_1\right)^4=\left(1-4m\right)^2\)

Thay vào bài toán:

\(2\left(1-4m\right)^2=18\)

\(\Rightarrow\left(1-4m\right)^2=9\)

Nhớ chỉ lấy nghiệm \(m< \frac{1}{4}\)