K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
10 tháng 10 2019

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z=0\)

\(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.0}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}}=\sqrt{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)

\(=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\in Q\)

21 tháng 6 2017

Ta có: 

\(\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2+\left(c-a\right)^2\left(a-b\right)^2\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2+\left(c-a\right)^2\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Vì \(a,b,c\in Q\)

\(\Rightarrow A\in Q\)

21 tháng 6 2017

Đặt \(a-b=x,b-c=y,c-a=z\)\(\Rightarrow x+y+z=a-b+b-c+c-a=0\)

Xét \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=A\)

Khi đó A bằng giá trị tuyệt đối của \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) là số hữu tỉ

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 2 2020

Lời giải:

\(\text{VT}=\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{a-b}{a+b}=\left(\frac{b}{b+c}-\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{c}{c+a}-\frac{c}{c+b}\right)+\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a}{a+c}\right)\)

\(=\frac{b(a-c)}{(b+c)(a+b)}+\frac{c(b-a)}{(c+a)(c+b)}+\frac{a(c-b)}{(a+b)(a+c)}\)

\(=\frac{b(a-c)(a+c)+c(b-a)(b+a)+a(c-b)(c+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{b(a^2-c^2)+c(b^2-a^2)+a(c^2-b^2)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

\(=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)}{(a+b)(b+c)(c+a)}(*)\)

Và:

\(\text{VP}=\frac{(b^2-c^2)(b+c)+(c^2-a^2)(c+a)+(a^2-b^2)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

\(=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)}{(a+b)(b+c)(c+a)}(**)\)

Từ $(*); (**)\Rightarrow $ đpcm

16 tháng 7 2016

Bạn tham khảo ở đây : http://olm.vn/hoi-dap/question/633314.html

27 tháng 5 2017

Cần chứng minh BĐT khác 

\(\frac{a^3-b^3}{\left(a-b\right)^3}+\frac{b^3-c^3}{\left(b-c\right)^3}+\frac{c^3-a^3}{\left(c-a\right)^3}\ge\frac{9}{4}\)

\(\LeftrightarrowΣ\frac{3\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}\ge2\) 

Vậy chứng minh BĐT đầu bài quay ra chứng minh BĐT dòng đầu

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}-1+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}-1+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}-1\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{4bc}{\left(b-c\right)^2}+\frac{4ca}{\left(a-c\right)^2}\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{3ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{3bc}{\left(b-c\right)^2}+\frac{3ca}{\left(a-c\right)^2}\ge-\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3ab}{\left(a-b\right)^2}+1+\frac{3bc}{\left(b-c\right)^2}+1+\frac{3ca}{\left(a-c\right)^2}+1\ge3-\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+ab+b^2}{\left(a-b\right)^2}+\frac{b^2+bc+c^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{c^2+ac+c^2}{\left(a-c\right)^2}\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3-b^3}{\left(a-b\right)^3}+\frac{b^3-c^3}{\left(b-c\right)^3}+\frac{c^3-a^3}{\left(a-c\right)^3}\ge\frac{9}{4}\)

BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM

27 tháng 5 2017

ko pic 

mik pic nhưng giải rất dài dòng

ai k mik 

mik kb hít lun nha