Cho a,b,c đôi một khác nhau
Tính P =\(\frac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-â\right)}+\frac{bc}{\left(c-â\right)\left(a-b\right)}+\frac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
12 tháng 11 2020
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
Khi đó ta được: \(ab+bc+ca\ge ab;\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\frac{1}{b^2};\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{1}{a^2}\)
Do đó ta cần chứng minh \(ab\left(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge4\)hay \(\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge2\)*đúng theo bất đẳng thức Cô - si*
Đẳng thức xảy ra khi \(a^2+b^2=3ab,c=0\)
16 tháng 5 2017
Giả sử c = min(a,b,c), khi đó ab+bc+ca>=ab; 1/(b-c)^2>=1/b^2; 1/(c-a)^2>=1/a^2. Ta cần chứng minh: ab(1/(a-b)^2 +1/b^2 + 1/a^2 )>=4. Bằng cách biến đổi tương đương ta được: [ab/(a-b)^2 +a/b + b/a]>=4 <=> ab/(a-b)^2 +a/b+b/a-4>=0 <=>ab/(a-b)^2 + (a^2+b^2-4ab)/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +[(a-b)^2-2ab]/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +(a-b)^2/ab - 2 >=0 (1).
Đặt k = ab/(a-b)^2>=0 => (a-b)^2 = 1/k >0.
Áp dụng BĐT Cosi cho k và 1/k => k+1/k >=2 căn(k.1/k)=2 => k+1/k-2>=0 => (1) đã được chứng minh.
Vậy (ab+bc+ca)[1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2]>=4.
Dấu bằng xảy ra khi c = 0 và k=1/k => k^2=1 => a^2b^2=(a-b)^4 => (a-b)^2=ab => a^2+b^2-2ab=ab => a^2-3ab+b^2 = 0. Xem đây là PT bậc hai theo a với hệ số theo b. Lập Delta = 9b^2-4b^2 = 5b^2 => a = (3b+bcăn 5)/2 hoặc a = (3b-bcăn 5)/2.
29 tháng 9 2016
Ta có
\(1S=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-A\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
Xét tử ta có Tử = ba2 - ab2 + cb2 - bc2 + ac2 - ca2
= (ba2 - bc2) + (ac2 - ca2) + (- ab2 + cb2)
= (a - c)(ab + bc - ac - b2)
= (a - c)(b - c)(a - b)
Từ đó => S = - 1
