Question

[Phạm Thị Linh Đan]

Cho ΔABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: ΔABD ∼ ΔACE

b) Chứng minh: HD.HB = HE.HC

c) AH cắt BC tại F. Kẻ FI vuông góc AC tại I. Chứng minh \(\frac{IF}{IC}\) = \(\frac{FA}{FC}\)

d) Trên tia đối tia AF lấy điểm N sao cho AN = AF. Gọi M là trung điểm cạnh IC. Chứng minh: NI ⊥ FM

P/s: Giải nhanh cho mình đi ạ, mình đang cần gấp. Không cần phải vẽ hình đâu ạ!

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Xét tam giác $ABD$ và $ACE$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{A}-\text{chung}\\ \widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle ACE(g.g)\)

b)

Xét tam giác $HBE$ và $HCD$ có:

\(\widehat{BHE}=\widehat{CHD}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^0\)

\(\Rightarrow \triangle HBE\sim \triangle HCD(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{HB}{HE}=\frac{HC}{HD}\Rightarrow HB.HD=HC.HE\)

c)

Vì $H$ là giao điểm của 2 đường cao $CE,BD$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

\(\Rightarrow AH\perp BC\)\(\Rightarrow AF\perp BC\Rightarrow \widehat{AFC}=90^0\)

Xét tam giác $AFC$ và $FIC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{C}-\text{chung}\\ \widehat{AFC}=\widehat{FIC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AFC\sim \triangle FIC(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AF}{FC}=\frac{FI}{IC}\) (đpcm)

d) Gọi giao điểm của $NI$ và $FM$ là $K$.

Từ kết quả phần c \(\frac{AF}{FC}=\frac{FI}{IC}\Leftrightarrow \frac{\frac{FN}{2}}{FC}=\frac{FI}{2CM}\Leftrightarrow \frac{FN}{FC}=\frac{FI}{CM}\)

\(\Leftrightarrow \frac{FI}{FN}=\frac{CM}{FC}\)

Xét tam giác $FIN$ và $CMF$ có:

\(\widehat{IFN}=\widehat{MCF}(=90^0-\widehat{IFC})\)

\(\frac{FN}{CF}=\frac{FI}{CM}\) (cmt)

\(\Rightarrow \triangle FIN\sim \triangle CMF(c.g.c)\Rightarrow \widehat{FNK}=\widehat{FNI}=\widehat{CFM}\)

Mà \(\widehat{CFM}=90^0-\widehat{NFK}\)

\(\Rightarrow \widehat{FNK}=90^0-\widehat{NFK}\)

\(\Rightarrow \widehat{FNK}+\widehat{NFK}=90^0\)

\(\Rightarrow \widehat{FKN}=90^0\Rightarrow NI\perp MF\) (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: