Cho 3 số x , y , z thỏa mãn :
xy/2x+3y = yz/5y+3z = xz/2z+5x
Chứng minh rằng x , y , z tỉ lệ với 2 , 3 , 5
^-^ 🤔🤔🤔😐😐😐
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
1
BL
1
T
19 tháng 1 2021
Cách này đòi hỏi sự kiên nhẫn và kinh nghiệm.
Cần chứng minh:
\({\dfrac {4 \left( xy+zx+yz \right) \left( x+y+z \right) ^{7}}{ 243}}- \left( {x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} \right) \left( {x}^{3}{y}^{3}+{ x}^{3}{z}^{3}+{y}^{3}{z}^{3} \right) \geqslant 0.\quad(1) \)
Đặt
\(\text{M}=4\,{z}^{7}+ \left( 757\,x+757\,y \right) {z}^{6}+84\, \left( x+y \right) ^{2}{z}^{5}+140\, \left( x+y \right) ^{3}{z}^{4}\\\quad\quad+ \left( 1598 \,{x}^{4}+4205\,{x}^{3}y+4971\,{x}^{2}{y}^{2}+4205\,x{y}^{3}+1598\,{y} ^{4} \right) {z}^{3}\\\quad \quad+84\, \left( x+y \right) ^{5}{z}^{2}+28\, \left( x +y \right) ^{6}z\geqslant 0 \)
Ta có:
\((1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{243}xy\cdot M+{\dfrac { \left( x+y \right) \left( {x}^{2}+11\,xy+{y}^{2} \right) \left( 2\,x-y \right) ^{2} \left( x-2\,y \right) ^{2}xy}{243}}\\\quad\quad+{ \dfrac { \left( x+y \right) z \left( x+y+z \right) \left( {x}^{2}+2\,x y+11\,zx+{y}^{2}+11\,yz+{z}^{2} \right) \left( 2\,y-z+2\,x \right) ^{ 2} \left( y-2\,z+x \right) ^{2}}{243}}\geqslant 0. \)
Đẳng thức xảy ra khi $...$
M
19 tháng 8 2023
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược (Proof by Contradiction). Giả sử bất đẳng thức trên không đúng, tức là: (5x^3 - y^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) + (5y^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z^3) + (5z^3 - x^3)/(3z^2 + xz + 5x^3) > x + y + z Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên thành: (5x^3 - y ^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) - x + (5y^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z^3) - y + (5z^3 - x^3 )/(3z^2 + xz + 5x^3) - z > 0 Tiếp theo, ta nhận thấy rằng với mọi a, b > 0, ta luôn có: (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) - a > 0 and (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) - b > 0. Vì vậy, áp dụng bất đẳng thức trên từng phần thức trong tổng, ta có: (5x^3 - y^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) - x > 0 (5y ^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z ^3) - y > 0 (5z^3 - x^3)/(3z^2 + xz + 5x^3) - z > 0 Khi đặt a = x^3, b = y^3, c = z^3, ta có: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) - a^(1/3) > 0 (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) - b^(1/3) > 0 (5c - a)/(3c^2 + ac + 5a) - c^(1/3) > 0 Nói cách khác, ta có các bất đẳng thức sau: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) > a^(1/3) (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) > b^(1/3) ( 5c - a)/(3c^2 + ac + 5a) > c^( 1/3) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3a^2 + ab + 5b ≥ 3∛(15a^2b) 3b^2 + bc + 5c ≥ 3∛(15b^2c) 3c^2 + ac + 5a ≥ 3∛(15c^2a) Khi đặt A = 3a^2 + ab + 5b, B = 3b^2 + bc + 5c, C = 3c^2 + ac + 5a, ta có: A > a ^ (1/3) B > b^(1/3) C > c^(1/3) Từ đó, ta có: (A + B + C) > (a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)) Nhưng A, B, C lần lượt tương ứng với các số mẫu trong bất đẳng thức ban đầu, ta thu được: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) + (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) + (5c - a)/(3c^ 2 + ac + 5a) > (a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)) Tuy nhiên, điều này trái với giả định ban đầu.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2022
\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
U
1
26 tháng 4 2021
trông lúa nước 2 vụ 1 năm , sử dụng công cụ bằng sắt và sức trâu bò , ăn trầu cau, ở nhà sàn, (đánh cá, thương nghiệp )
Sai đề không vậy???
Không bạn😁😁