a, Tìm \(x,y,z\in Z\) biết: \(x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020\)
b, Cho \(A=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\) \(\left(x,y,z\in Z\right)\). Chứng minh rằng: Nếu \(x+y+z⋮6\) thì \(A-3xyz⋮6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 3 2021
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\y+z=-x\\x+z=-y\end{matrix}\right.\)
\(B=\dfrac{16.\left(-z\right)}{z}+\dfrac{3.\left(-x\right)}{x}-\dfrac{2019.\left(-y\right)}{y}=2019-19=2000\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(\left(x^3+1\right)\left(y^3+1\right)\left(z^3+1\right)=\dfrac{81}{64}x^3y^3z^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{81}{64}x^2y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow3xyz\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{81}{64}x^3y^3z^3\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xyz=0\\\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\)
Ta có:
\(x^2-x+1=\dfrac{3}{4}x^2+\left(\dfrac{x}{2}-1\right)^2\ge\dfrac{3}{4}x^2\)
Tương tự: \(y^2-y+1\ge\dfrac{3}{4}y^2\) ; \(z^2-z+1\ge\dfrac{3}{4}z^2\)
Do các vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế ta được:
\(\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)\ge\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Thế vào điều kiện \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=3xyz\) ko thỏa mãn (loại)
Vậy \(xyz=0\)
HT
29 tháng 7 2016
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz.\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\text{[}\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)\text{]}\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\text{[}\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\text{]}\left(\text{đ}pcm\right)\)
ML
29 tháng 7 2016
Dùng biến đổi sau: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(VT=z^3+\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)^3-3z\left(x+y\right)\left(z+x+y\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^2-3xy-3yz-3zx\right]\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
\(=VP\)
NC
13 tháng 8 2020
Bài làm:
Ta có: \(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)
\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-\left[3xy\left(x+y\right)+3xyz\right]\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
và
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\)
\(=2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
Từ đó thay vào P rút ra:
\(P=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}=\frac{2020}{2}=1010\)
Vậy P = 1010
a)
\(x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020\)
\(\Rightarrow\left(x^3-x\right)+\left(y^3-y\right)+\left(z^3-z\right)=2020\)
\(\Rightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+y\left(y-1\right)\left(y+1\right)+z\left(z-1\right)\left(z+1\right)=2020\)
Ta có tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6
=> \(VT⋮6\)
Mà VP \(⋮̸\) 6
\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm