cho x,y,z không âm cmr : x(x-y)^2+y(y-z)^2>=(x-y)(y-z)(x+y-z)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HT
1
LH
1
7 tháng 11 2021
\(A=\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\)
\(áp\) \(dụng\) \(bđt:\) \(\)\(AM-GM:a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x+y-z\right)^2\left(y+z-x\right)^2\left(z+x-y^2\right)=\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\le\dfrac{\left(x+y-z+y+z-x\right)^2}{4}\le\dfrac{4y^2}{4}\le y^2\\\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\le\dfrac{\left(y+z-x+z+x-y\right)^2}{4}\le z^2\\\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\le\dfrac{\left(x+y-z+z+x-y\right)^2}{4}\le x^2\\\end{matrix}\right.\)
\(\)\(\Rightarrow A^2\le x^2y^2z^2\le\left(xyz\right)^2\Rightarrow A\le xyz\)
14 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).
Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).
Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).
Do đó bđt ban đầu cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.
2
4
DL
10 tháng 6 2018
Đặt \(a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)
Thì \(\Rightarrow a+b+c=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\)\(x+y+z=1\)
Bất đẳng thức đã tương đương với \(x+2y+z\ge4\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow a+b\ge16abc\)
Ta có: \(\left(a+b\right).\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(a+b\right).4c\left(a+b\right)\ge16abc\left(đpcm\right).\)
VT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 7 2021
Lời giải:
$(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)=2(z+x)(z+y)$
$\Leftrightarrow (z+x)(z+y)[(x+y)^2-2]=0$
$\Leftrightarrow x+z=0$ hoặc $z+y=0$ hoặc $(x+y)^2=2$
Nếu $z+x=0\Leftrightarrow x=-z$
$z^2=x^2$ không có cơ sở bằng $\frac{x^2+y^2}{2}$
Bạn xem lại đề.
1 tháng 3 2021
`0<=y,z<=1`
`=>1-y,1-z>=0`
`=>(1-y)(1-z)>=0`
`=>1-y-z+yz>=0`
`=>yz>=y+z-1`
`=>2yz>=2x+2z-2`
`=>P=x^2+y^2+z^2`
`=>P=x^2+(y^2+2yz+z^2)-2yz`
`=>P=x^2+(y+z)^2-2yz`
`=>P<=x^2-2(y+z-1)+(3/2-x)^2`
`=>P<=(3/2-x)^2-2(1/2-x)+x^2`
`=>P<=9/4-3x+x^2-1+2x+x^2`
`=>P<=5/4+2x^2-x`
Giả sử:
`x<=y<=z`
`=>x+x+x<=x+y+z=3/2`
`=>3x<=3/2`
`=>x<=1/2`
`0<=x<=1/2=>2x^2-x<=0`
`=>P<=5/4`
Dấu "=" xảy ra khi `(x,y,z)=(0,1,1/2)` và các hoán vị
28 tháng 2 2021
Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x,y,z\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\dfrac{9}{4}:3=\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{4}\)
Vậy: \(P_{max}=\dfrac{3}{4}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{4}\)