cho các số thỏa mãn x+y+z=1000
tính \(Q=\frac{x^3}{\left(x-y\right).\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 11 2016
Ta có
\(\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}+\frac{y+z}{12}+\frac{y+2z}{18}\ge\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}\ge-\frac{y+z}{12}-\frac{y+2z}{18}+\frac{x}{2}=\frac{18x-7z-5y}{36}\)
Tương tự ta có
\(\frac{y^3}{\left(z+x\right)\left(z+2x\right)}\ge\frac{18y-7x-5z}{36}\)
\(\frac{z^3}{\left(x+y\right)\left(x+2y\right)}\ge\frac{18z-7y-5x}{36}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(A\ge\frac{18x-7z-5y}{36}+\frac{18y-7x-5z}{36}+\frac{18z-7y-5x}{36}\)
\(=\frac{x+y+z}{6}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{6}=\frac{3.2}{6}=1\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 2
TN
27 tháng 8 2017
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có
\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
B
24 tháng 8 2017
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
TN
25 tháng 7 2017
bài này cần x,y,z>0 nữa, vừa xem xong bài y hệt của LCC :v
Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=1\) thì \(P=24\)
Ta chứng minh P=24 là GTNN
Thật vậy áp dụng BĐT C-S ta có:
\(P=Σ\frac{\left(x+1\right)^2\left(y+1\right)^2\left(z+1\right)^2}{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\ge\frac{\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2}{Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\)
Cần chứng minh: \(\frac{\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2}{Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\ge24\)
\(\Leftrightarrow\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2\ge24Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y+z=3u\\xy+yz+xz=3v^2\\xyz=w^3\end{cases}}\) \(\Rightarrow u=1\) thì
\(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=Σ\left(x^2y+x^2z+2x^2+2xy+2x\right)\)
\(=9uv^2-3w^3+2u\left(9u^2-6v^2\right)+9uv^2+6u^3=3\left(8u^3+uv^2-w^3\right)\)
Và \(Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2=2Σ\left(x^2y^2+x^2yz+x^2u+xyu^2\right)\)
\(=2\left(9v^4-6uw^3+3uw^3+9u^4-6u^2v^2+3u^2v^2\right)\)
\(=6\left(3u^4-u^2v^2+3v^4-uw^3\right)\). Can cm \(f\left(w^3\right)\ge0\)
\(f\left(w^3\right)=\left(8u^3+uv^2-w^3\right)^2-16\left(3u^6-u^4v^2+3u^2v^4-u^3w^3\right)\)
\(f'\left(w^3\right)=-2\left(8u^3+uv^2-w^3\right)+16u^3=2w^3-2uv^2\le0\)
Thay \(f\) la ham` ngh!ch bien, do đó, BĐT có 1 GTLN của w3 khi 2 biến bằng nhau
Đặt \(y=x;z=3-2x\), Khi đó:
\(BDT\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^4-2x^3-11x^2+24x+4\right)\ge0\)
30 tháng 3 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{2x+y}{8}+\frac{y+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{64}}=\frac{3x}{4}\\\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{2y+z}{8}+\frac{x+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{64}}=\frac{3y}{4}\\\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{2z+x}{8}+\frac{x+y}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{64}}=\frac{3z}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{5\left(x+y+z\right)}{8}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{5}{8}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow P_{min}=\frac{1}{8}\)
\(Q=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}-\frac{y^3}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-z\right)+z^3\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)(1)
Ta có:
\(x^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-z\right)+z^3\left(x-y\right)\)
\(=x^3\left(y-z\right)-y^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-y\right)+z^3\left(x-y\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x^3-y^3\right)-\left(x-y\right)\left(y^3-z^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x^2+xy+y^2-y^2-yz-z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x^2+xy-yz-z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left[\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x+y+z\right)=1000\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\)(2)
Từ (1) và (2), ta có Q = 1000