chứng minh rằng biểu thức sau là số chính phương A = n(n+2)(n+4)(n+6) + 16
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 6 2019
a) 2A=2^2+2^3+...+2^100
A= 2A-A= 2^100-2 không phải là số chính phương
A+2 = 2^100 là số chính phương
b) 20.448 =2.2.5.296 = 298.5 > 298.4 > 2100 > A
c) 2100 - 2 = 299.2-2=833.2 -2 => n rỗng
d) ta có: 24k chia 7 dư 2
2100-2 = 24.25-2 chia hết chp 7
e) ta có: 24k chia 6 dư 4
2100-2 = 24.25-2 chia 6 dư 2
f) ta có: 24k tận cùng 6
2100-2 = 24.25-2 tận cùng 4
5 tháng 12 2023
Trước tiên, ta thấy \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(n+5\right)\) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tích này chia hết cho 5. Do đó A chia 5 dư 2.
Ta sẽ chứng minh một số chính phương (bình phương của một số tự nhiên \(k\)) không thể chia 5 dư 2. Thật vậy:
Nếu \(k⋮5\Rightarrow k^2⋮5\)
Nếu \(k\) chia 5 dư 1 hay -1 (tức là dư 4) thì đặt \(k=5l\pm1\left(l\inℕ\right)\) \(\Rightarrow k^2=\left(5l\pm1\right)^2=25l^2\pm10l+1\) chia 5 dư 1.
Nếu \(k\) chia 5 dư 2 hay -2 (tức là dư 3) thì đặt \(k=5l\pm2\left(l\inℕ\right)\) thì \(k^2=\left(5l\pm2\right)^2=25l^2\pm20l+4\) chia 5 dư 4.
Vậy một số chính phương không thể chia 5 dư 2. Thế nhưng theo cmt, A chia 5 dư 2. Điều này có nghĩa là A không phải bình phương của bất kì số nguyên nào. (đpcm)
Ta có:
\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\left(n+6\right)+16\)
\(=\left[n\left(n+6\right)\right]\left[\left(n+2\right)\left(n+4\right)\right]+16\)
\(=\left[n^2+6n\right]\left[n\left(n+4\right)+2\left(n+4\right)\right]+16\)
\(=\left[n^2+6n\right]\left[n^2+4n+2n+8\right]+16\)
\(=\left[n^2+6n\right]\left[n^2+6n+8\right]+16\)
Đặt \(n^2+6n=t\). Biểu thức A bằng:
\(t\left[t+8\right]+16\)
\(=t^2+8t+16\)
\(=\left(t^2+4t\right)+\left(4t+16\right)\)
\(=t\left(t+4\right)+4\left(t+4\right)\)
\(=\left(t+4\right)\left(t+4\right)\)
\(=\left(t+4\right)^2\) là số chính phương.