K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

19 tháng 3 2017

Vì a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có : \(a+b>c;a+c>b;b+c>a\)

\(\Rightarrow c\left(a+b\right)>c.c\Rightarrow ac+bc>c^2\)

\(\Rightarrow b\left(a+c\right)>b.b\Rightarrow ab+bc>b^2\)

\(\Rightarrow a\left(b+c\right)>a.a\Rightarrow ab+ac>a^2\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\left(ac+bc\right)+\left(ab+bc\right)+\left(ab+ac\right)>a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)>a^2+b^2+c^2\) (đpcm)

19 tháng 3 2017

Nhân 2 vế với a>0 ta có

ab+ac>a^2 (1)

bc+ba>b^2 (2)

ac+cb>c^2 (3)

Cộng hai vế của (1) , (2) , (3) ta được 2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2 ( đpcm)

8 tháng 7 2017

a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0

Ta có: (b – c)2 < a2

⇔ a2 – (b – c)2 > 0

⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0

⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).

Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)

b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :

( a – b)2 < c2 (2)

(c – a)2 < b2 (3)

Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2

⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2

⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2

⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2021

Đề sai với $b=0,1; c=0,2; a=0,25$

17 tháng 1 2022
Ngu kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 4 2021

** Lần sau bạn lưu ý viết đề bằng công thức toán (hộp công thức nằm ở nút biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo)

Lời giải:

a) Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:

$c< a+b\Rightarrow c^2< c(a+b)$

$b< a+c\Rightarrow b^2< b(a+c)$

$a<b+c\Rightarrow a^2< a(b+c)$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< c(a+b)+b(a+c)+a(b+c)$

hay $a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)$ (đpcm)

b) 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$\text{VT}[a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)]\geq (a+b+c)^2$

$\text{VT}[2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)]\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}(*)$

Mà theo BĐT Cô-si:

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Do đó:

$2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)$

$\leq (a+b+c)^2-2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(a+b+c)^2}{3}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \text{VT}\geq 3$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 4 2021

Lời giải khác của câu b

Đặt $b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z$. Theo BĐT tam giác thì $x,y,z>0$

$\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}; a=\frac{y+z}{2}; b=\frac{x+z}{2}$

Bài toán trở thành:

Cho $x,y,z>0$. CMR $\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3$
Thật vậy:

Áp dụng BĐT Cô-si:

 \(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{8xyz}}=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$

9 tháng 12 2021

Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b>c\Leftrightarrow ac+bc>c^2\)

CMTT: \(ab+bc>b^2;ab+ac>a^2\)

Cộng vế theo vế \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca+ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)

 

1 tháng 6 2017

Xét tam thức f(x) = b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 có:

Δ = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

    = (b2 + c2 - a2 - 2bc)(b2 + c2 - a2 + 2bc)

    = [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]

    = (b – c – a)(b – c + a)(b + c + a)(b + c – a).

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:

    b < c + a ⇒ b – c – a < 0

    c < a + b ⇒ b – c + a > 0

    a < b + c ⇒ b + c – a > 0

    a, b, c > 0 ⇒ a + b + c > 0

⇒ Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với b2 ∀x hay f(x) > 0 ∀x (đpcm).

10 tháng 8 2021

Ta có

$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,$$

hay $$\dfrac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2 +(c-a)^2\right[ = 0.$$

Mà vế trái luôn không âm \(\forall a,b,c \in \mathbb{R}\), đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Vậy ta có điều cần chứng minh.

 

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)