chứng minh bất đẳng thức
cho a,b>o
cmr a^2+b^2>=(a+b)^2
ai giúp mk với
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 3 2018
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) ( với a,b,c>0) ta có:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}=\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge a^2\) (1)
CMTT ta được
\(\frac{b^3}{a+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{4}\ge b^2\) (2)
\(\frac{c^3}{a+b}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge c^2\) (3)
Cộng lần lượt từng vế của 3 BĐT (1);(2);(3) ta được:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{2\left(ab+bc+ac\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{ab+bc+ca}{2}\) (*)
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)với 3 số a,b,c>0 ta được:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Thay vào pt (*) ta được:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)
k tớ nha !!!
6 tháng 1 2022
a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)
hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)
b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)
8 tháng 5 2021
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Có : \(a,b\ge0\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ( đpcm )
Vậy ...
18 tháng 4 2019
a, ta có a2+1\(\ge\)2a,b2+1\(\ge\)2b
=>........
A
18 tháng 4 2019
a/ \(a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right).\)
Ta có \(a^2+b^2+2-2\left(a+b\right)\)
\(=a^2+b^2+2-2a-2b\)
\(=a^2+b^2+1+1-2a-2b\)
\(=\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\)
mak ta có \(\orbr{\begin{cases}\left(a-1\right)^2\ge0\\\left(b-1\right)^2\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2-2\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)(đpcm)
31 tháng 8 2018
Giải theo kiểu lớp 8 cho chắc :v
Ta có : \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2+3b^2+3c^2}{9}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( Đúng )
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
31 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}=\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
KS
1
XO
30 tháng 6 2021
Ta có a2 + b2 + c2 \(\ge a\left(b+c\right)\)
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 \(\ge\)2a(b + c)
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 \(\ge\)2ab + 2ac
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac \(\ge\)0
<=> (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + b2 + c2 \(\ge0\)
<=> (a - b)2 + (a - c)2 + b2 + c2 \(\ge0\)(đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 0
=> BĐT được chứng minh
hình như sai đề
phải là a2+b2+2ab=>(a+b)2